Cho ba điểm \(A,B,C\) phân biệt, cố định và thẳng hàng sao cho \(B\) nằm giữa \(A\) và \(C\). Vẽ

Câu hỏi số 514828:

Vận dụng

Cho ba điểm \(A,B,C\) phân biệt, cố định và thẳng hàng sao cho \(B\) nằm giữa \(A\) và \(C\). Vẽ nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC\). Từ \(A\) kẻ tiếp tuyến \(AM\) đến nửa đường tròn \(\left( O \right)\) (\(M\) là tiếp điểm). Trên cung \(MC\)lấy điểm \(E\) (\(E\) không trùng \(M\) và \(C\)), đường thẳng \(AE\) cắt nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(F\) (\(F\) không trùng \(E\)). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(EF\) và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên đường thẳng \(BC\). Chứng minh:

a) Tứ giác \(AMIO\) nội tiếp;

b) Hai tam giác \(OFH\) và \(OAF\) đồng dạng với nhau;

c) Trọng tâm \(G\) của tam giác \(OEF\) luôn nằm trên một đường tròn cố định khi điểm \(E\) thay đổi trên cung \(MC\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:514828

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp, chứng minh \(\angle AMO = \angle AIO = {90^0}\) suy ra \(AMIO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OA\) (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn \(OA\) dưới các góc bằng \({90^0}\)).

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh của hai tam giác.

c) Gọi \(N \in OA\) sao cho \(\frac{{ON}}{{OA}} = \frac{2}{3}\), từ đó chứng minh được \(NG//IA\) (định lí Ta – lét đảo)

Chứng minh \(ON\) cố định.

Giải chi tiết

a) Ta có: \(I\) là trung điểm của \(EF\) nên \(OI \bot EF\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cùng)

\( \Rightarrow \angle AIO = {90^0}\).

Mà \(AM\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(AM \bot OM\) (định nghĩa) \( \Rightarrow \angle AMO = {90^0}\).

\( \Rightarrow \angle AMO = \angle AIO = {90^0}\)\( \Rightarrow AMIO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OA\) (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn \(OA\) dưới các góc bằng \({90^0}\)).

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \(AMO\) vuông tại \(M\) có \(MH\) là đường cao ta có: \(O{M^2} = OH.OA\)

Mà \(OM = OF \Rightarrow O{F^2} = OH.OA \Rightarrow \frac{{OH}}{{OF}} = \frac{{OF}}{{OA}}\).

Xét \(\Delta OFH\) và \(\Delta OAF\) ta có:

\(\angle FOA\) chung;

\(\frac{{OH}}{{OF}} = \frac{{OF}}{{OA}}\,\,\left( {cmt} \right)\);

\( \Rightarrow \Delta OFH \sim \Delta OAF\,\,\,\left( {c.g.c} \right)\,\,\left( {dpcm} \right)\)

c) Gọi \(N \in OA\) sao cho \(\frac{{ON}}{{OA}} = \frac{2}{3}\), khi đó ta có \(\frac{{ON}}{{OA}} = \frac{{OG}}{{OI}} = \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow NG//IA\) (định lí Ta-lét đảo).

Mà \(AI \bot OI\,\,\left( {do\,\,OI \bot EF} \right)\) \( \Rightarrow NG \bot OI\) tại \(G\) \( \Rightarrow \angle OGN = {90^0}\).

\( \Rightarrow G\) thuộc đường tròn đường kính \(ON\).

Vì \(A,\,\,B,\,\,C\) cố định \( \Rightarrow O\) cố định \( \Rightarrow OA\) không đổi \( \Rightarrow ON\) không đổi \( \Rightarrow N\) cố định.

\( \Rightarrow \) Đường tròn đường kính \(ON\) cố định.

Vậy khi điểm E thay đổi trên cung MC thì trọng tâm G của tam giác \(OEF\) luôn nằm trên một đường tròn cố định là đường tròn đường kính \(ON\) với \(ON = \frac{2}{3}OA\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link