Cho \(a,b\) là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện \(a + {b^2} = 2a{b^2}\). Chứng minh rằng

Câu hỏi số 516873:

Vận dụng cao

Cho \(a,b\) là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện \(a + {b^2} = 2a{b^2}\). Chứng minh rằng \(\frac{1}{{{a^4} + {b^4} + 2a{b^4}}} + \frac{1}{{{a^2} + {b^8} + 2{a^2}{b^2}}} \le \frac{1}{2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:516873

Phương pháp giải

1) Biến đổi phương trình về dạng \({a^2} + {b^2} = \) hằng số

Đánh giá từng biểu thức và biện luận nghiệm

2) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = x\\{b^2} = y\end{array} \right.\,\,\left( {x;y > 0} \right) \Rightarrow x + y = 2xy\). Khi đó ta cần chứng minh: \(\frac{1}{{{x^4} + {y^2} + 2x{y^2}}} + \frac{1}{{{x^2} + {y^4} + 2{x^2}y}} \le \frac{1}{2}\)

Sau đó, vận dụng BĐT Cô – si để chứng minh.

Giải chi tiết

Có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^4} + {y^2} \ge 2{x^2}y\\{x^2} + {y^4} \ge 2x{y^2}\end{array} \right.\,\,\left( {BDT\,\,Co - si} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{{x^4} + {y^2} + 2x{y^2}}} \le \frac{1}{{2{x^2}y + 2x{y^2}}} = \frac{1}{{2xy\left( {x + y} \right)}}\\\,\,\,\,\,\frac{1}{{{x^2} + {y^4} + 2{x^2}y}} \le \frac{1}{{2x{y^2} + 2{x^2}y}} = \frac{1}{{2xy\left( {x + y} \right)}}\\ \Rightarrow \frac{1}{{{x^4} + {y^2} + 2x{y^2}}} + \frac{1}{{{x^2} + {y^4} + 2{x^2}y}} \le \frac{1}{{2xy\left( {x + y} \right)}} + \frac{1}{{2xy\left( {x + y} \right)}} = \frac{1}{{xy\left( {x + y} \right)}}\end{array}\)

Ta sẽ chứng minh \(\frac{1}{{xy\left( {x + y} \right)}} \le \frac{1}{2}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{xy\left( {x + y} \right)}} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow xy\left( {x + y} \right) \ge 2\\ \Leftrightarrow \frac{{x + y}}{2}\left( {x + y} \right) \ge 2\,\,\left( {Do\,\,x + y = 2xy} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4 \Leftrightarrow x + y \ge 2\end{array}\)

Thật vậy: \(x + y = 2xy \le {\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow x + y \ge 4\,\,\left( {Do\,\,x + y > 0} \right)\).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link