Cho \(a,b,c > 0\) và \(ab + bc + ca = 1\). Chứng minh rằng: \(\sqrt {{a^2} + 1} + \sqrt {{b^2} + 1}

Câu hỏi số 518143:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c > 0\) và \(ab + bc + ca = 1\). Chứng minh rằng: \(\sqrt {{a^2} + 1} + \sqrt {{b^2} + 1} + \sqrt {{c^2} + 1} \le 2\left( {a + b + c} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:518143

Phương pháp giải

Áp dụng Cô-si \(\sqrt {AB} \le \frac{1}{2}\left( {A + B} \right)\) với \(A,B\) không ấm. Dấu “=” xảy ra khi \(A = B\)

Giải chi tiết

Áp dụng Cô-si \(\sqrt {AB} \le \frac{1}{2}\left( {A + B} \right)\) với \(A,B\) không ấm. Dấu “=” xảy ra khi \(A = B\)

\(\sqrt {{a^2} + 1} = \sqrt {{a^2} + ab + bc + ca} = \sqrt {a\left( {a + b} \right) + c\left( {a + b} \right)} = \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \le \frac{1}{2}\left( {2a + b + c} \right)\)

\(\sqrt {{b^2} + 1} = \sqrt {{b^2} + ab + bc + ca} = \sqrt {b\left( {a + b} \right) + c\left( {a + b} \right)} = \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)} \le \frac{1}{2}\left( {a + 2b + c} \right)\)

\(\sqrt {{c^2} + 1} = \sqrt {{c^2} + ab + bc + ca} = \sqrt {c\left( {c + b} \right) + a\left( {c + b} \right)} = \sqrt {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)} \le \frac{1}{2}\left( {a + b + 2c} \right)\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\sqrt {{a^2} + 1} + \sqrt {{b^2} + 1} + \sqrt {{c^2} + 1} \le \frac{1}{2}\left( {4a + 4b + 4c} \right) = 2\left( {a + b + c} \right)\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = b + c = c + a\\ab + bc + ca = 1\\a,b,c > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link