Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC\), điểm \(A\) thuộc đường tròn. Vẽ bán kính \(OK\)

Câu hỏi số 518142:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC\), điểm \(A\) thuộc đường tròn. Vẽ bán kính \(OK\) song song với \(BA\) (\(K\) và \(A\) nằm cùng phía với \(BC\)). Tiếp tuyến với đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(C\) cắt \(OK\) ở \(I,\,\,OI\) cắt \(AC\) tại \(H\). Chứng minh rằng:

a) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

b) \(AI\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

c) \(CK\) là phân giác của \(\widehat {ACI}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:518142

Phương pháp giải

a) Vận dụng kiến thức điểm thuộc đường tròn.

b) Chứng minh \(\Delta AOI = \Delta COI\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {OAI} = \widehat {OCI}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {OCI} = {90^0}\) (vì \(CI\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)) nên \(\widehat {OAI} = {90^0}\)

Vậy \(AI\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

c) Vận dụng tính chất của tam giác cân, tính chất: trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.

Giải chi tiết

a) Có \(BC\) là đường kính của \(\left( O \right)\) và \(A \in \left( O \right)\) (gt) \( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A\) (đpcm).

b) Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) (cmt) \( \Rightarrow BA \bot AC\) mà \(AB\)//\(OI\) (gt)

\( \Rightarrow OI \bot AC\) tại \(H\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét \(\Delta OAC\) có \(OA = OC\) (bán kính) \( \Rightarrow \Delta OAC\) cân tại \(O\) mà \(OH\) là đường cao

\( \Rightarrow OH\) cũng là phân giác của \(\widehat {AOC} \Rightarrow \widehat {AOI} = \widehat {COI}\)

Xét \(\Delta AOI\) và \(\Delta COI\) có:

\(OI\) chung

\(OA = OC\) (bán kính)

\(\widehat {AOI} = \widehat {COI}\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta AOI = \Delta COI\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {OAI} = \widehat {OCI}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {OCI} = {90^0}\) (vì \(CI\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)) nên \(\widehat {OAI} = {90^0}\)

Vậy \(AI\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

c) \(\Delta OKC\) cân tại \(O\) (vì \(OK = OC\)) \( \Rightarrow \widehat {HKC} = \widehat {OCK}\) (tính chất tam giác cân)

Có \(OI \bot AC\) tại \(H\) (cmt) nên \(\Delta HKC\) vuông tại \(H\)

\( \Rightarrow \widehat {HKC} + \widehat {KCH} = {90^0}\) (Tính chất: trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

\( \Rightarrow \widehat {OCK} + \widehat {KCH} = {90^0}\)

Mà \(\widehat {OCK} + \widehat {KCI} = {90^0}\) (vì \(CI\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\))

\( \Rightarrow \widehat {KCH} = \widehat {KCI} \Rightarrow CK\) là phân giác của \(\widehat {ACI}\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link