Tìm tất cả các giá trị \(m\) là số nguyên sao cho giao điểm của đồ thị hai hàm số \(y =

Câu hỏi số 521425:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị \(m\) là số nguyên sao cho giao điểm của đồ thị hai hàm số \(y = {m^2}x - 1\) và \(y = - x + 2m\) có tọa độ là các số nguyên dương.

A. \(m = 2\)

B. \(m = - 2\)

C. \(m = 1\)

D. \(m = - 1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:521425

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số, tìm hoành độ giao điểm của hai hàm số đó sau đó tìm điêu kiện nguyên dương.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{m^2}x - 1 = - x + 2m\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)x = 2m + 1\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{2m + 1}}{{{m^2} + 1}}\,\left( {do\,\,{m^2} + 1 > 0\,\,\forall m} \right)\end{array}\)

Để giao điểm của 2 đồ thị có tọa độ nguyên dương thì \(\dfrac{{2m + 1}}{{{m^2} + 1}} \in {\mathbb{Z}^ + }\,\,\left( * \right)\).

Đặt \(\dfrac{{2m + 1}}{{{m^2} + 1}} = k\,\,\left( {k \in {\mathbb{Z}^ + }} \right)\) ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,2m + 1 = \left( {{m^2} + 1} \right)k\\ \Leftrightarrow 2m + 1 = k{m^2} + k\\ \Leftrightarrow k{m^2} - 2m + k - 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Để tồn tại \(m\) thỏa mãn (*) thì phương trình (1) phải có nghiệm.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ' = 1 - k\left( {k - 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow - {k^2} + k + 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2} \le k \le \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array}\)

Mà \(k \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow k = 1\).

Khi đó ta có \(\dfrac{{2m + 1}}{{{m^2} + 1}} = 1 \Leftrightarrow {m^2} + 1 = 2m + 1 \Leftrightarrow {m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\).

Thử lại: Với \(m = 0 \Rightarrow x = \dfrac{{0 + 1}}{{{0^2} + 1}} = 1 \Rightarrow y = - 1 + 2.0 = - 1\) (ktm).

Với \(m = 2\) \( \Rightarrow x = \dfrac{{2.2 + 1}}{{{2^2} + 1}} = 1 \Rightarrow y = - 1 + 2.2 = 3\) (tm).

Vậy có 1 giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m = 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link