Từ một điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) với \(OA < 2R\). Vẽ hai tiếp

Câu hỏi số 521424:

Vận dụng

Từ một điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) với \(OA < 2R\). Vẽ hai tiếp tuyến \(AD,\,\,AE\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (với \(D,\,\,E\) là các tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác \(ADOE\) nội tiếp được đường tròn.

b) Lấy điểm \(M\) thuộc cung nhỏ \(DE\) (\(M\) khác \(D\), \(M\) khác \(E\), \(MD < ME\)). Tia \(AM\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai \(N\). Đoạn thẳng \(AO\) cắt cung nhỏ \(DE\) tại \(K\). Chứng minh \(NK\) là tia phân giác của \(\angle DNE\)

c) Kẻ đường kính \(KQ\) của \(\left( {O;R} \right)\). Tia \(QN\) cắt tia \(ED\) tại \(C\). Chứng minh \(MD.CE = ME.CD\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:521424

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Vận dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau và mối quan hệ của 2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau.

c) Chứng minh: \(\dfrac{{MD}}{{ND}} = \dfrac{{AD}}{{AN}}\), \(\dfrac{{ME}}{{NE}} = \dfrac{{AE}}{{AN}}\), \(AD = AE\) suy ra \(\dfrac{{MD}}{{ME}} = \dfrac{{ND}}{{NE}}\)

Chứng minh \(\dfrac{{ND}}{{NE}} = \dfrac{{CD}}{{CE}}\), từ đó chứng minh được \(MD.CE = ME.CD\).

Giải chi tiết

a) Vì \(AD,\,\,AE\) là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(D,\,\,E\) nên \(\angle ODA = \angle OEA = {90^0}\) (định nghĩa)

Xét tứ giác \(ADOE\) có: \(\angle ODA + \angle OEA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) nên \(ADOE\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có \(OA\) là tia phân giác của \(\angle DOE\).

\( \Rightarrow OK\) cũng là tia phân giác của \(\angle DOE\).

\( \Rightarrow \angle DOK = \angle EOK\).

\( \Rightarrow sdcDK = sdcEK\) (2 góc ở tâm bằng nhau thì chắn 2 cung bằng nhau).

\( \Rightarrow \angle DNK = \angle ENK\) (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau)

Vậy \(NK\) là tia phân giác của \(\angle DNE\).

c) Xét \(\Delta AMD\) và \(\Delta ADN\) có:

\(\angle DAN\) chung;

\(\angle ADM = \angle AND\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(DM\))

\( \Rightarrow \Delta AMD \sim \Delta ADN\,\,\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{MD}}{{ND}} = \dfrac{{AD}}{{AN}}\) (1)

Xét \(\Delta AME\) và \(\Delta AEN\) có:

\(\angle EAN\) chung;

\(\angle AEM = \angle ANE\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(EM\))

\( \Rightarrow \Delta AME \sim AEN\,\,\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{ME}}{{NE}} = \dfrac{{AE}}{{AN}}\) (2)

Mà \(AD = AE\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) (3)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \dfrac{{MD}}{{ND}} = \dfrac{{ME}}{{NE}}\) \( \Rightarrow \dfrac{{MD}}{{ME}} = \dfrac{{ND}}{{NE}}\) (4).

Vì \(KQ\) là đường kính của \(\left( O \right)\,\,\,\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow \angle KNQ = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(NK \bot NQ\).

Theo ý b ta có \(NK\) là tia phân giác của \(\angle DNE\) \( \Rightarrow NQ\) là phân giác ngoài của \(\angle DNE\) hay \(NC\) là phân giác ngoài của \(\angle DNE\).

Áp dụng định lí đường phân giác ta có \(\dfrac{{ND}}{{NE}} = \dfrac{{CD}}{{CE}}\) (5)

Từ (4) và (5) \( \Rightarrow \dfrac{{MD}}{{ME}} = \dfrac{{CD}}{{CE}} \Rightarrow MD.CE = ME.CD\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link