Cho mạch điện vô hạn gồm các điện trở r và R như hình vẽ. Tìm điện trở giữa hai điểm A

Câu hỏi số 521701:

Vận dụng cao

Cho mạch điện vô hạn gồm các điện trở r và R như hình vẽ. Tìm điện trở giữa hai điểm A và B.

A. \({R_{AB}} = \dfrac{{2rR}}{{R + {R_x}}}\) với \({R_x} = \sqrt {\dfrac{{{r^2}}}{4} + rR} + \dfrac{r}{2}\).

B. \({R_{AB}} = \dfrac{{2rR}}{{2R + {R_x}}}\) với \({R_x} = \sqrt {\dfrac{{{r^2}}}{4} + rR} - \dfrac{r}{2}\).

C. \({R_{AB}} = \dfrac{{2rR}}{{2R + {R_x}}}\) với \({R_x} = \sqrt {\dfrac{{{r^2}}}{4} + rR} + \dfrac{r}{2}\).

D. \({R_{AB}} = \dfrac{{2rR}}{{R + {R_x}}}\) với \({R_x} = \sqrt {\dfrac{{{r^2}}}{4} + rR} - \dfrac{r}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:521701

Phương pháp giải

Mạch điện dài vô hạn, khi thêm hoặc bớt một mắt xích vào mạch thì điện trở tương đương của mạch không thay đổi.

Giải chi tiết

Ta có mạch điện:

Ta thấy đoạn mạch AC và BD có cấu tạo giống nhau, đặt: \({R_{AC}} = {R_{BD}} = {R_x}\)

Xét đoạn mạch BD:

Khi ta thêm một mắt xích vào mạch, ta có:

+ Mạch 1:

Mạch điện tương đương: \(R//{R_x}\)

Điện trở tương đương của mạch điện là:

\(\dfrac{1}{{{R_{CD}}}} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{{{R_x}}}\,\,\left( 1 \right)\)

+ Mạch 2:

Mạch điện tương đương: \(R//\left[ {rnt\left( {R//{R_x}} \right)} \right]\)

Điện trở tương đương của mạch 2 là:

\(\dfrac{1}{{{R_{CD}}}} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{{r + \dfrac{{R.{R_x}}}{{R + {R_x}}}}}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{{{R_x}}} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{{r + \dfrac{{R.{R_x}}}{{R + {R_x}}}}} \Rightarrow {R_x} = r + \dfrac{{R.{R_x}}}{{R + {R_x}}}\\ \Rightarrow {R_x}.R + {R_x}^2 = r.R + r.{R_x} + R.{R_x}\\ \Rightarrow {R_x}^2 = r.{R_x} + r.R \Rightarrow {R_x}^2 - r.{R_x} - r.R = 0\\ \Rightarrow {R_x}^2 - r.{R_x} + \dfrac{{{r^2}}}{4} - \dfrac{{{r^2}}}{4} - r.R = 0\\ \Rightarrow {\left( {{R_x} - \dfrac{r}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{r^2}}}{4} + r.R\\ \Rightarrow {R_x} = \dfrac{r}{2} + \sqrt {\dfrac{{{r^2}}}{4} + r.R} \end{array}\)

Đoạn mạch AB có thể vẽ lại như sau:

Mạch điện tương đương: \(r//\left[ {\left( {R//{R_x}} \right)nt\left( {R//{R_x}} \right)} \right]\)

Ta có điện trở tương đương:

\(\begin{array}{l}{R_{AC}} = \dfrac{{R.{R_x}}}{{R + {R_x}}}\\{R_{ACB}} = 2{R_{AC}} = \dfrac{{2R.{R_x}}}{{R + {R_x}}}\\{R_{AB}} = \dfrac{{r.{R_{ACB}}}}{{r + {R_{ACB}}}} = \dfrac{{r.\dfrac{{2R.{R_x}}}{{R + {R_x}}}}}{{r + \dfrac{{2R.{R_x}}}{{R + {R_x}}}}} = \dfrac{{2r.R.{R_x}}}{{r.R + r.{R_x} + 2R.{R_x}}}\end{array}\)

Mà \(r.R + r.{R_x} = {R_x}^2\)

\( \Rightarrow {R_{AB}} = \dfrac{{2r.R.{R_x}}}{{{R_x}^2 + 2R.{R_x}}} = \dfrac{{2r.R}}{{{R_x} + 2R}}\) với \({R_x} = \dfrac{r}{2} + \sqrt {\dfrac{{{r^2}}}{4} + rR} \)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link