Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, \(\angle BAC = {45^0}\). Vẽ các đường cao \(BD\) và \(CE\) của tam

Câu hỏi số 521909:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, \(\angle BAC = {45^0}\). Vẽ các đường cao \(BD\) và \(CE\) của tam giác \(ABC\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\).

a) Chứng minh \(ADHE\) là tứ giác nội tiếp.

b) Tính tỉ số \(\dfrac{{DE}}{{BC}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:521909

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(\dfrac{{DE}}{{BC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}\), tính được \(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) suy ra được tỉ số của \(DE\) và \(BC\).

Giải chi tiết

a) Vì \(BD,\,\,CE\) là các đường cao của \(\Delta ABC\) nên \(\angle AEH = \angle ADH = {90^0}\).

Xét tứ giác \(ADHE\) có \(\angle AEH + \angle ADH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).

\( \Rightarrow ADHE\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng \({180^0}\)).

b) Vì \(ADHE\) là tứ giác nội tiếp nên \(\angle ADE = \angle ABC\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) có: \(\angle BAC\) chung; \(\angle ADE = \angle ABC\,\,\left( {cmt} \right)\).

\( \Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta ABC\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{DE}}{{BC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}\).

Xét tam giác \(ABD\) có \(\angle ADB = {90^0}\,\,\left( {gt} \right),\,\,\angle BAD = {45^0}\,\,\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow \Delta ABD\) vuông cân tại \(D\).

\( \Rightarrow \cos \angle BAD = \dfrac{{AD}}{{AB}} \Leftrightarrow \cos {45^0} = \dfrac{{AD}}{{AB}} \Leftrightarrow \dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(\dfrac{{DE}}{{BC}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link