Cho phương trình: \(\left( {{m^2} + m + 1} \right){x^2} - \left( {{m^2} + 2m + 2} \right)x - 1 = 0\,\,\,\left( 1

Câu hỏi số 521910:

Vận dụng cao

Cho phương trình: \(\left( {{m^2} + m + 1} \right){x^2} - \left( {{m^2} + 2m + 2} \right)x - 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) (\(m\) là tham số). Giả sử \({x_1},{x_2}\) là các nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = {x_1} + {x_2}\).

A. \({S_{\min }} = \dfrac{2}{3}\) khi \(m = - 2\); \({S_{\max }} = 2\) khi \(m = 0\)

B. \({S_{\min }} = \dfrac{2}{3}\) khi \(m = 2\); \({S_{\max }} = 2\) khi \(m = 0\)

C. \({S_{\min }} = \dfrac{{ - 2}}{3}\) khi \(m = - 2\); \({S_{\max }} = 2\) khi \(m = 0\)

D. \({S_{\min }} = \dfrac{{ - 2}}{3}\) khi \(m = - 2\); \({S_{\max }} = 2\) khi \(m = 0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:521910

Phương pháp giải

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0\)

Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính được \(S = {x_1} + {x_2}\) theo tham số \(m\), sau đó đưa về phương trình bậc hai ẩn là \(m\) và tham số là \(S\).

Biện luận các giá trị của \(S\) có thể xảy ra để tìm được giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết

Phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) khi và chỉ khi

\(\Delta \ge 0 \Rightarrow {\left( {{m^2} + 2m + 2} \right)^2} + 4\left( {{m^2} + m + 1} \right) \ge 0\) (luôn đúng với mọi \(m\) vì \({m^2} + m + 1 = {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0\,\,\forall m\)).

\( \Rightarrow \) Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{{m^2} + 2m + 2}}{{{m^2} + m + 1}}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2}S + mS + S = {m^2} + 2m + 2\\ \Leftrightarrow \left( {S - 1} \right){m^2} + \left( {S - 2} \right)m + S - 2 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

TH1: \(S = 1 \Rightarrow - m + 1 - 2 = 0 \Rightarrow - m - 1 = 0 \Rightarrow m = - 1\).

TH2: \(S \ne 1\). Khi đó phương trình (*) có:

\(\begin{array}{l}{\Delta _*} = {\left( {S - 2} \right)^2} - 4\left( {S - 1} \right)\left( {S - 2} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = {S^2} - 4S + 4 - 4\left( {{S^2} - 3S + 2} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = - 3{S^2} + 8S - 4\end{array}\)

Để tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = {x_1} + {x_2}\) thì phương trình (*) phải có nghiệm.

Khi đó ta có: \({\Delta _*} \ge 0 \Leftrightarrow - 3{S^2} + 8S - 4 \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 3{S^2} + 6S + 2S - 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 3S\left( {S - 2} \right) + 2\left( {S - 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {S - 2} \right)\left( { - 3S + 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}S - 2 \ge 0\\ - 3S + 2 \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}S - 2 \le 0\\ - 3S + 2 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}S \ge 2\\S \le \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow S \in \emptyset \\\left\{ \begin{array}{l}S \le 2\\S \ge \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{2}{3} \le S \le 2\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = {x_1} + {x_2}\) bằng \(\dfrac{2}{3}\) và giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = {x_1} + {x_2}\) bằng 2.

Với \(S = \dfrac{2}{3}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{m^2} + 2m + 2}}{{{m^2} + m + 1}} = \dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow 3\left( {{m^2} + 2m + 2} \right) = 2\left( {{m^2} + m + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow m = - 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Với \(S = 2\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{m^2} + 2m + 2}}{{{m^2} + m + 1}} = 2\\ \Rightarrow {m^2} + 2m + 2 = 2{m^2} + 2m + 2\\ \Leftrightarrow {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = 0\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = {x_1} + {x_2}\) bằng \(\dfrac{2}{3}\) đạt được khi \(m = - 2\).

và giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = {x_1} + {x_2}\) bằng 2 đạt được khi \(m = 0\).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link