Cho hình vuông ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 4 cm. Trung điểm của AB và BC theo thứ tự là M và N. Nối CM và ND cắt nhau tại P. a. Chứng minh CM ⊥ DN b. Nối MN, tính các tỉ số lượng giác của c. Nôi MD, tính các tỉ số lượng giác của và diện tích tam giác MDN.

Câu hỏi số 52298:

Cho hình vuông ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 4 cm. Trung điểm của AB và BC theo thứ tự là M và N. Nối CM và ND cắt nhau tại P.

a. Chứng minh CM ⊥ DN

b. Nối MN, tính các tỉ số lượng giác của $\widehat{CMN}$

c. Nôi MD, tính các tỉ số lượng giác của $\widehat{MDN}$ và diện tích tam giác MDN.

A. sin $\widehat{PMN}$ = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ , cos $\widehat{PMN}$ = $\frac{3}{\sqrt{10}}$ , tg $\widehat{PMN}$ = $\frac{1}{3}$ , cotg $\widehat{PMN}$ = 3, sin $\widehat{MDP}$ = $\frac{3}{5}$ , cos $\widehat{MDP}$ = $\frac{4}{5}$ , tg $\widehat{MDP}$ = $\frac{3}{4}$ , cotg $\widehat{MDP}$ = $\frac{4}{3}$ S_MDN = 6 (cm²)

B. sin $\widehat{PMN}$ = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ , cos $\widehat{PMN}$ = $\frac{3}{\sqrt{10}}$ , tg $\widehat{PMN}$ = $\frac{1}{3}$ , cotg $\widehat{PMN}$ = 3, sin $\widehat{MDP}$ = $\frac{3}{5}$ , cos $\widehat{MDP}$ = $\frac{4}{5}$ , tg $\widehat{MDP}$ = $\frac{3}{4}$ , cotg $\widehat{MDP}$ = $\frac{4}{3}$ S_MDN = 5 (cm²)

C. sin $\widehat{PMN}$ = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ , cos $\widehat{PMN}$ = $\frac{3}{\sqrt{10}}$ , tg $\widehat{PMN}$ = $\frac{1}{3}$ , cotg $\widehat{PMN}$ = 2, sin $\widehat{MDP}$ = $\frac{3}{5}$ , cos $\widehat{MDP}$ = $\frac{4}{5}$ , tg $\widehat{MDP}$ = $\frac{3}{4}$ , cotg $\widehat{MDP}$ = $\frac{4}{3}$ S_MDN = 6 (cm²)

D. sin $\widehat{PMN}$ = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ , cos $\widehat{PMN}$ = $\frac{3}{\sqrt{10}}$ , tg $\widehat{PMN}$ = $\frac{1}{3}$ , cotg $\widehat{PMN}$ = 3, sin $\widehat{MDP}$ = $\frac{3}{5}$ , cos $\widehat{MDP}$ = $\frac{4}{5}$ , tg $\widehat{MDP}$ = $\frac{3}{4}$ , cotg $\widehat{MDP}$ = $\frac{4}{3}$ S_MDN = 4 (cm²)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:52298

Giải chi tiết

a. ∆BMC và ∆CND có BM = CN = $\frac{1}{2}$ cạnh hình vuông,

$\widehat{MBC}$ = $\widehat{NCD}$ = 90⁰, BC = CD

Vậy ∆BMC = ∆CND => $\widehat{C_{1}}$ = $\widehat{D_{1}}$ mà $\widehat{C_{1}}$ + $\widehat{C_{2}}$ = 90⁰

nên $\widehat{D_{1}}$ + $\widehat{C_{2}}$ = 90⁰ => $\widehat{P}$ = 90⁰

Vậy CM ⊥ DN

b. ∆BMN vuông cân ( $\widehat{B}$ = 90⁰)

=> MN = $\frac{MB}{sin\widehat{MNB}}$ = $\frac{2}{sin45^{0}}$ = $\frac{2}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$ = 2√2;

∆CND vuông tại C, theo định lí Pitago:

DN² = DC² + CN² = 4² + 2² = 20 => DN = √20;

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

CN² = NP.ND => NP = $\frac{CN^{2}}{ND}$ = $\frac{2^{2}}{\sqrt{20}}$ = $\frac{4}{2\sqrt{5}}$ = $\frac{2}{\sqrt{5}}$ ;

∆MNP vuông tại P nên:

MP² = MN² – NP² = $(2\sqrt{2})^{2}$ - $\left ( \frac{2}{\sqrt{5}} \right )^{2}$ = 8 - $\frac{4}{5}$ = $\frac{36}{5}$ => MP = $\frac{6}{\sqrt{5}}$

sin $\widehat{PMN}$ = $\frac{NP}{MN}$ = $\frac{2}{\sqrt{5}}$ : 2√2 = $\frac{2}{\sqrt{5}}$ . $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{10}}$

cos $\widehat{PMN}$ = $\frac{MP}{MN}$ = $\frac{6}{\sqrt{5}}$ : 2√2 = $\frac{6}{\sqrt{5}}$ . $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ = $\frac{3}{\sqrt{10}}$

tg $\widehat{PMN}$ = $\frac{1}{3}$ , cotg $\widehat{PMN}$ = 3

c. DM = DN = √20;

DP = DN - NP = √20 - $\frac{2}{\sqrt{5}}$ = $\frac{2\sqrt{5}.\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}}$ = $\frac{8}{\sqrt{5}}$

sin $\widehat{MDP}$ = $\frac{MP}{MD}$ = $\frac{6}{\sqrt{5}}$ : 2√5 = $\frac{6}{\sqrt{5}}$ . $\frac{1}{2\sqrt{5}}$ = $\frac{3}{5}$

cos $\widehat{MDP}$ = $\frac{DP}{MD}$ = $\frac{8}{\sqrt{5}}$ : 2√5 = $\frac{8}{\sqrt{5}}$ . $\frac{1}{2\sqrt{5}}$ = $\frac{4}{5}$

tg $\widehat{MDP}$ = $\frac{3}{4}$ , cotg $\widehat{MDP}$ = $\frac{4}{3}$

S_MDN = $\frac{1}{2}$ DN.MP = $\frac{1}{2}$ .2√5. $\frac{6}{\sqrt{5}}$ = 6 (cm²)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link