Cho hình vuông ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 4 cm. Trung điểm của AB và BC theo thứ tự là M và N. Nối CM và ND cắt nhau tại P. a. Chứng minh CM ⊥ DN b. Nối MN, tính các tỉ số lượng giác của c. Nôi MD, tính các tỉ số lượng giác của và diện tích tam giác MDN.

Câu hỏi số 52298:

Cho hình vuông ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 4 cm. Trung điểm của AB và BC theo thứ tự là M và N. Nối CM và ND cắt nhau tại P.

a. Chứng minh CM ⊥ DN

b. Nối MN, tính các tỉ số lượng giác của $\widehat{CMN}$

c. Nôi MD, tính các tỉ số lượng giác của $\widehat{MDN}$ và diện tích tam giác MDN.

A. sin $\widehat{PMN}$ = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ , cos $\widehat{PMN}$ = $\frac{3}{\sqrt{10}}$ , tg $\widehat{PMN}$ = $\frac{1}{3}$ , cotg $\widehat{PMN}$ = 3, sin $\widehat{MDP}$ = $\frac{3}{5}$ , cos $\widehat{MDP}$ = $\frac{4}{5}$ , tg $\widehat{MDP}$ = $\frac{3}{4}$ , cotg $\widehat{MDP}$ = $\frac{4}{3}$ S_MDN = 6 (cm²)

B. sin $\widehat{PMN}$ = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ , cos $\widehat{PMN}$ = $\frac{3}{\sqrt{10}}$ , tg $\widehat{PMN}$ = $\frac{1}{3}$ , cotg $\widehat{PMN}$ = 3, sin $\widehat{MDP}$ = $\frac{3}{5}$ , cos $\widehat{MDP}$ = $\frac{4}{5}$ , tg $\widehat{MDP}$ = $\frac{3}{4}$ , cotg $\widehat{MDP}$ = $\frac{4}{3}$ S_MDN = 5 (cm²)

C. sin $\widehat{PMN}$ = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ , cos $\widehat{PMN}$ = $\frac{3}{\sqrt{10}}$ , tg $\widehat{PMN}$ = $\frac{1}{3}$ , cotg $\widehat{PMN}$ = 2, sin $\widehat{MDP}$ = $\frac{3}{5}$ , cos $\widehat{MDP}$ = $\frac{4}{5}$ , tg $\widehat{MDP}$ = $\frac{3}{4}$ , cotg $\widehat{MDP}$ = $\frac{4}{3}$ S_MDN = 6 (cm²)

D. sin $\widehat{PMN}$ = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ , cos $\widehat{PMN}$ = $\frac{3}{\sqrt{10}}$ , tg $\widehat{PMN}$ = $\frac{1}{3}$ , cotg $\widehat{PMN}$ = 3, sin $\widehat{MDP}$ = $\frac{3}{5}$ , cos $\widehat{MDP}$ = $\frac{4}{5}$ , tg $\widehat{MDP}$ = $\frac{3}{4}$ , cotg $\widehat{MDP}$ = $\frac{4}{3}$ S_MDN = 4 (cm²)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:52298

Giải chi tiết

a. ∆BMC và ∆CND có BM = CN = $\frac{1}{2}$ cạnh hình vuông,

$\widehat{MBC}$ = $\widehat{NCD}$ = 90⁰, BC = CD

Vậy ∆BMC = ∆CND => $\widehat{C_{1}}$ = $\widehat{D_{1}}$ mà $\widehat{C_{1}}$ + $\widehat{C_{2}}$ = 90⁰

nên $\widehat{D_{1}}$ + $\widehat{C_{2}}$ = 90⁰ => $\widehat{P}$ = 90⁰

Vậy CM ⊥ DN

b. ∆BMN vuông cân ( $\widehat{B}$ = 90⁰)

=> MN = $\frac{MB}{sin\widehat{MNB}}$ = $\frac{2}{sin45^{0}}$ = $\frac{2}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$ = 2√2;

∆CND vuông tại C, theo định lí Pitago:

DN² = DC² + CN² = 4² + 2² = 20 => DN = √20;

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

CN² = NP.ND => NP = $\frac{CN^{2}}{ND}$ = $\frac{2^{2}}{\sqrt{20}}$ = $\frac{4}{2\sqrt{5}}$ = $\frac{2}{\sqrt{5}}$ ;

∆MNP vuông tại P nên:

MP² = MN² – NP² = $(2\sqrt{2})^{2}$ - $\left ( \frac{2}{\sqrt{5}} \right )^{2}$ = 8 - $\frac{4}{5}$ = $\frac{36}{5}$ => MP = $\frac{6}{\sqrt{5}}$

sin $\widehat{PMN}$ = $\frac{NP}{MN}$ = $\frac{2}{\sqrt{5}}$ : 2√2 = $\frac{2}{\sqrt{5}}$ . $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{10}}$

cos $\widehat{PMN}$ = $\frac{MP}{MN}$ = $\frac{6}{\sqrt{5}}$ : 2√2 = $\frac{6}{\sqrt{5}}$ . $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ = $\frac{3}{\sqrt{10}}$

tg $\widehat{PMN}$ = $\frac{1}{3}$ , cotg $\widehat{PMN}$ = 3

c. DM = DN = √20;

DP = DN - NP = √20 - $\frac{2}{\sqrt{5}}$ = $\frac{2\sqrt{5}.\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}}$ = $\frac{8}{\sqrt{5}}$

sin $\widehat{MDP}$ = $\frac{MP}{MD}$ = $\frac{6}{\sqrt{5}}$ : 2√5 = $\frac{6}{\sqrt{5}}$ . $\frac{1}{2\sqrt{5}}$ = $\frac{3}{5}$

cos $\widehat{MDP}$ = $\frac{DP}{MD}$ = $\frac{8}{\sqrt{5}}$ : 2√5 = $\frac{8}{\sqrt{5}}$ . $\frac{1}{2\sqrt{5}}$ = $\frac{4}{5}$

tg $\widehat{MDP}$ = $\frac{3}{4}$ , cotg $\widehat{MDP}$ = $\frac{4}{3}$

S_MDN = $\frac{1}{2}$ DN.MP = $\frac{1}{2}$ .2√5. $\frac{6}{\sqrt{5}}$ = 6 (cm²)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link