Cho biểu thức \(A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{2004}}\). Chứng minh rằng: \(A\) chia hết cho 3, 7 và

Câu hỏi số 524300:

Vận dụng cao

Cho biểu thức \(A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{2004}}\). Chứng minh rằng: \(A\) chia hết cho 3, 7 và 15

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:524300

Phương pháp giải

Nhóm các hạng tử để xuất hiện thừa số \(3\,;\,7\) và \(15\)

Giải chi tiết

+) \(A = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2003}} + {2^{2004}}\)

\(\begin{array}{l}A = 2\left( {1 + 2} \right) + {2^3}\left( {1 + 2} \right) + ... + {2^{2003}}\left( {1 + 2} \right)\\A = 2.3 + {2^3}.3 + ... + {2^{2003}}.3\\A = 3\left( {2 + {2^3} + ... + {2^{2003}}} \right) \vdots 3\end{array}\)

+) \(A = \left( {2 + {2^2} + {2^3}} \right) + \left( {{2^4} + {2^5} + {2^6}} \right) + ... + \left( {{2^{2002}} + {2^{2003}} + {2^{2004}}} \right)\)

\(\begin{array}{l}A = 2.\left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + {2^4}\left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + ... + {2^{2002}}\left( {1 + 2 + {2^2}} \right)\\ = 2.7 + {2^4}.7 + ... + {2^{2002}}.7\\ = 7\left( {2 + {2^4} + ... + {2^{2002}}} \right) \vdots 7\end{array}\)

+) \(A = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + {2^4}} \right) + \left( {{2^5} + {2^6} + {2^7} + {2^8}} \right) + ... + \left( {{2^{2001}} + {2^{2002}} + {2^{2003}} + {2^{2004}}} \right)\)

\(\begin{array}{l}A = 2\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) + {2^5}\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) + ... + {2^{2001}}\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right)\\A = 2.15 + {2^5}.15 + ... + {2^{2001}}.15\\A = 15\left( {2 + {2^5} + ... + {2^{2001}}} \right) \vdots 15\end{array}\)

Vậy \(A \vdots 3;7\) và 15.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link