Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(abc \le 1\). Chứng minh

Câu hỏi số 526339:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(abc \le 1\). Chứng minh rằng:

\(\dfrac{{a\left( {1 - {b^3}} \right)}}{{{b^3}}} + \dfrac{{b\left( {1 - {c^3}} \right)}}{{{c^3}}} + \dfrac{{c\left( {1 - {a^3}} \right)}}{{{a^3}}} \ge 0\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:526339

Phương pháp giải

Đặt \(a = \dfrac{1}{x},\,\,b = \dfrac{1}{y},\,\,c = \dfrac{1}{z} \Rightarrow xyz \ge 1\,\,\left( {x;y;z \ge 0} \right)\).

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(\dfrac{{{y^3}}}{x} + xy \ge 2{y^2}\).

Ta cũng làm tương tự và có được điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

BĐT \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{{b^3}}} + \dfrac{b}{{{c^3}}} + \dfrac{c}{{{a^3}}} \ge a + b + c\).

Đặt \(a = \dfrac{1}{x},\,\,b = \dfrac{1}{y},\,\,c = \dfrac{1}{z} \Rightarrow xyz \ge 1\,\,\left( {x;y;z \ge 0} \right)\).

BĐT \( \Leftrightarrow \dfrac{{{y^3}}}{x} + \dfrac{{{z^3}}}{y} + \dfrac{{{x^3}}}{z} \ge \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}\).

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(\dfrac{{{y^3}}}{x} + xy \ge 2{y^2}\).

Tương tự \( \Rightarrow \dfrac{{{y^3}}}{x} + \dfrac{{{z^3}}}{y} + \dfrac{{{x^3}}}{z} \ge 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - \left( {xy + yz + zx} \right)\).

Lại có \({x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx\) \( \Rightarrow \dfrac{{{y^3}}}{x} + \dfrac{{{z^3}}}{y} + \dfrac{{{x^3}}}{z} \ge xy + yz + zx\).

Mà \(xy + yz + zx = \dfrac{{xyz}}{z} + \dfrac{{yzx}}{x} + \dfrac{{zxy}}{y} \ge \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}\).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link