Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca ≥ 3. Chứng minh rằng

Câu hỏi số 52684:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca ≥ 3.

Chứng minh rằng : $\frac{a^{4}}{b+3c}$ + $\frac{b^{4}}{c+3a}$ + $\frac{c^{4}}{a+3c}$ ≥ $\frac{3}{4}$

A. Click để xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:52684

Giải chi tiết

Áp dụng cô si : $\frac{a^{4}}{b+3c}$ + $\frac{b+3c}{16}$ ≥ $\frac{1}{2}$ a²

$\frac{b^{4}}{c+3a}$ + $\frac{c+3a}{16}$ ≥ $\frac{1}{2}$ b²

$\frac{c^{4}}{a+3c}$ + $\frac{a+3b}{16}$ ≥ $\frac{1}{2}$ c²

=> VT + ( $\frac{b+3c}{16}$ + $\frac{c+3a}{16}$ + $\frac{a+3b}{16}$ ) ≥ $\frac{1}{2}$ (a² + b² + c²)

=> VT ≥ $\frac{1}{2}$ (a² + b² + c²) - $\frac{1}{4}$ (a + b + c)

Dấu bằng xảy ra khi :

$\frac{a^{4}}{b+3c}$ = $\frac{b+3c}{16}$ ; $\frac{b^{4}}{c+3a}$ = $\frac{c+3a}{16}$ ; $\frac{c^{4}}{a+3c}$ = $\frac{a+3b}{16}$

⇔ b + 3c = 4; c + 3a = 4; a + 3b = 4 => a = b = c = 1(do a, b, c dương)

Mặt khác áp dụng BĐT bunhia:

(a + b + c)² ≤ (1 + 1 + 1)(a² + b²+ c²) => a + b + c ≤ √3. $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

=> -(a + b + c) ≥ -√3. $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

=> $\frac{1}{2}$ (a²+ b² + c²) – $\frac{1}{4}$ (a + b + c) ≥ $\frac{1}{2}$ (a² + b²+ c²) – $\frac{\sqrt{3}}{4}$ . $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

=> VT ≥ $\frac{1}{2}$ (a² + b²+ c²) - $\frac{\sqrt{3}}{4}$ . $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ .

Dấu bằng xảy ra khi : a = b = c = 1

Lại có : a² + b² ≥ 2ab

b² + c²≥ 2bc

^c2+ a²≥ 2ac

=> a²+ b²+ c² ≥ ab + bc + ca ≥ 3 => a² + b²+ c²≥ 3

=> $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ ≥ √3.

Dấu bằng xảy ra khi a = b =c ; ab + bc + ca = 3 ⇔ a =b = c = 1

Xét hiệu :

A = $\frac{1}{2}$ (a² + b²+ c²) - $\frac{\sqrt{3}}{4}$ . $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ - $\frac{3}{4}$

Đặt t = với t ≥ √3

A = $\frac{1}{2}$ t² – $\frac{\sqrt{3}}{4}$ t - $\frac{3}{4}$ = ( $\frac{1}{2}$ t²– $\frac{\sqrt{3}}{2}$ t) + ( $\frac{\sqrt{3}}{4}$ t - $\frac{3}{4}$ )

= $\frac{1}{2}$ t.(t - √3) + $\frac{\sqrt{3}}{4}$ (t -√3)

= (t - √3)( $\frac{1}{2}$ t + $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ) . Do t ≥ √3 nên A ≥ 0 => $\frac{1}{2}$ t² – $\frac{\sqrt{3}}{4}$ t ≥ $\frac{3}{4}$

Hay (a² + b²+ c²) - $\frac{\sqrt{3}}{4}$ . $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ ≥ $\frac{3}{4}$

=> $\frac{a^{4}}{b+3c}$ + $\frac{b^{4}}{c+3a}$ + $\frac{c^{4}}{a+3c}$ ≥ $\frac{3}{4}$ .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : a = b = c = 1(đpcm)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link