Cho hình chóp \(S.ABC\) có thể tích bằng \(1\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thay đổi song song với

Câu hỏi số 527490:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có thể tích bằng \(1\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thay đổi song song với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) lần lượt cắt các cạnh \(SA,\,\,SB,\,\,SC\) tại \(M,\,\,N,\,\,P\). Qua \(M,\,\,N,\,\,P\) kẻ các đường thẳng song song với nhau lần lượt cắt mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) tại \(M',\,\,N',\,\,P'\). Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối lăng trụ \(MNP.M'N'P'\).

A. \(\dfrac{4}{9}\)

B. \(\dfrac{8}{{27}}\)

C. \(\dfrac{1}{2}\)

D. \(\dfrac{1}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:527490

Phương pháp giải

Đặt \(\dfrac{{SM}}{{SA}} = x\,\,\left( {0 < x < 1} \right).\) Thiết lập công thức tính thể tích khối lăng trụ \(MNP.M'N'P'\) theo \(x,\) từ đó tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối lăng trụ.

Giải chi tiết

Đặt: \(\dfrac{{SM}}{{SA}} = x\,\,\left( {0 < x < 1} \right).\)

Vì \(\left( {MNP} \right)\,{\rm{//}}\,\left( {ABC} \right)\) nên: \(\dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{NP}}{{BC}} = \dfrac{{PM}}{{CA}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = x \Rightarrow \dfrac{{{S_{MNP}}}}{{{S_{ABC}}}} = {x^2} \Rightarrow {S_{MNP}} = {x^2}{S_{ABC}}.\)

Gọi \(d,\,\,{d_1}\) lần lượt là chiều cao của hình chóp \(S.ABC,\,\,S.MNP\) hạ từ đỉnh \(S\) và \({d_2}\) là chiều cao của khối lăng trụ \(MNP.M'N'P'\).

Ta có: \({d_1} + {d_2} = d.\)

Mà: \(\dfrac{{{d_1}}}{d} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = x \Rightarrow {d_1} = xd \Rightarrow {d_2} = d\left( {1 - x} \right).\)

Thể tích khối lăng trụ \(MNP.M'N'P'\) là: \({V_{MNP.M'N'P'}} = {x^2}{S_{ABC}}.d\left( {1 - x} \right) = {x^2}\left( {1 - x} \right).3{V_{S.ABC}} = 3{x^2}\left( {1 - x} \right)\).

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có: \({x^2}\left( {1 - x} \right) = 4.\dfrac{x}{2}.\dfrac{x}{2}\left( {1 - x} \right) \le 4.\dfrac{{{{\left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} + 1 - x} \right)}^3}}}{{27}} = \dfrac{4}{{27}}\)

\( \Rightarrow {V_{MNP.M'N'P'}} \le \dfrac{4}{9}.\)

Dấu xảy ra khi \(\dfrac{x}{2} = 1 - x \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\) (thỏa mãn).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.