Số nghiệm thực của phương trình \(\sqrt {4 - {x^2}} \left( {\sin 2\pi x - 3cos\pi x} \right) = 0\)

Câu hỏi số 528172:

Vận dụng

A. \(10\)

B. \(4\)

C. \(6\)

D. Vô số

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:528172

Phương pháp giải

Đặt điều kiện xác định cho biểu thức dưới dấu căn.

Sử dụng cách giải phương trình tích \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)

Sử dụng công thức hạ bậc: \(cos2a = 2\sin \,a.\cos a\)

Khi tìm ra giá trị \(x,\) cần đối chiếu điều kiện và kết luận.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(4 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 2 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 2;2} \right]\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {4 - {x^2}} \left( {\sin 2\pi x - 3cos\pi x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 - {x^2} = 0\\\sin 2\pi x - 3cos\pi x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\2\sin \pi x.cos\pi x - 3cos\pi x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 2\\cos\pi x\left( {2\sin \pi x - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 2\\cos\pi x = 0\\\sin \pi x = \dfrac{3}{2}\left( L \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 2\\\pi x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\left( {k \in {\bf{Z}}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 2\\x = \dfrac{1}{2} + k\,\left( {k \in {\bf{Z}}} \right)\end{array} \right.\left( {TMDK} \right)\end{array}\)

Mà \(x \in \left[ { - 2;2} \right] \Rightarrow - 2 \le k + \dfrac{1}{2} \le 2 \Leftrightarrow - \dfrac{5}{2} \le k \le \dfrac{3}{2};\,k \in {\bf{Z}} \Rightarrow k \in \left\{ { - 2; - 1;0;1} \right\}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 2;2; - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right\}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.