Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và đường thẳng \(d\) không đi qua \(O\) cắt đường tròn

Câu hỏi số 528214:

Vận dụng cao

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và đường thẳng \(d\) không đi qua \(O\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm \(A,\,\,B\). Trên tia đối của tia \(BA\), lấy một điểm \(M\), qua \(M\) kẻ hai tiếp tuyến \(MC\) và \(MD\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(C,\,\,D\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).

a) Chứng minh rằng tứ giác \(OMCH\) nội tiếp được trong một đường tròn.

b) \(OM\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(I\) và cắt \(CD\) tại \(K\). Chứng minh \(OK.OM = {R^2}\).

c) Đường thẳng qua \(O\) vuông góc với \(OM\) cắt các tia \(MC\) và \(MD\) lần lượt tại \(P\) và \(Q\). Tính độ dài \(OM\) theo \(R\) sao cho diện tích tam giác \(MPQ\) nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:528214

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu: Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp, cụ thể chứng minh \(\angle OHM = \angle OCM = {90^0}\) cùng nhìn cạnh \(OM\) dưới một góc không đổi.

b) + \(\;OM \bot CD\) tại \(K\).

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OMD\), suy ra \(O{D^2} = OK.OM = {R^2}\)

c) + \(\Delta MPQ\) cân tại \(M\)\( \Rightarrow MO\) đồng thời là trung tuyến của \(\Delta MPQ\)\( \Rightarrow OP = \dfrac{1}{2}PQ\)

+ Tính được \({S_{\Delta MPQ}} = OM.OP\)

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \(OMP\) vuông tại \(O\) có \(\dfrac{1}{{O{M^2}}} + \dfrac{1}{{O{P^2}}} = \dfrac{1}{{O{C^2}}} = \dfrac{1}{{{R^2}}}\)

+ Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \(\dfrac{1}{{O{M^2}}}\) và \(\dfrac{1}{{O{P^2}}}\) tìm được giá trị nhỏ nhất của \({S_{\Delta MPQ}}\)

Giải chi tiết

a) Vì \(H\) là trung điểm của \(AB\,\,\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow OH \bot AB\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

\( \Rightarrow \angle OHM = {90^0}\).

Xét tứ giác \(OMCH\) có \(\angle OHM = \angle OCM = {90^0}\) \( \Rightarrow OMCH\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

b) Vì \(MC = MD\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow M\) thuộc trung trực của \(CD\).

\(OC = OD\,\,\left( { = R} \right)\) nên \(O\) thuộc trung trực của \(CD\).

\( \Rightarrow OM\) là trung trực của \(CD\) \( \Rightarrow OM \bot CD\) tại \(K\).

Xét tam giác \(OMD\) vuông tại \(D\) có đường cao \(DK\) ta có: \(O{D^2} = OK.OM = {R^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

c) Ta có: \(MO\) là phân giác của \(\angle PMQ\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

\(MO\) là đường cao của \(\Delta PMQ\) (do \(PQ \bot OM\,\,\left( {gt} \right)\))

\( \Rightarrow \Delta MPQ\) cân tại \(M\) (tam giác có đường cao đồng thời là đường phân giác).

\( \Rightarrow MO\) đồng thời là trung tuyến của \(\Delta MPQ\) \( \Rightarrow O\) là trung điểm của \(PQ\) \( \Rightarrow OP = \dfrac{1}{2}PQ\).

Ta có \({S_{\Delta MPQ}} = \dfrac{1}{2}MO.PQ = OM.OP\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \(OMP\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OC\) ta có:

\(\dfrac{1}{{O{M^2}}} + \dfrac{1}{{O{P^2}}} = \dfrac{1}{{O{C^2}}} = \dfrac{1}{{{R^2}}}\).

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \(\dfrac{1}{{O{M^2}}}\) và \(\dfrac{1}{{O{P^2}}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{O{M^2}}} + \dfrac{1}{{O{P^2}}} \ge \dfrac{2}{{OM.OP}} = \dfrac{2}{{{S_{\Delta MPQ}}}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{{R^2}}} \ge \dfrac{2}{{{S_{\Delta MPQ}}}} \Leftrightarrow {S_{\Delta MPQ}} \ge 2{R^2}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}OM = OP\\\dfrac{2}{{O{M^2}}} = \dfrac{1}{{{R^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}OM = OP\\OM = R\sqrt 2 \end{array} \right.\).

Vậy \({S_{\Delta MPQ}}\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(2{R^2}\) khi \(OM = R\sqrt 2 \).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link