Cho tứ diện \(ABCD\) có tam giác \(BCD\) vuông tại \(C,AB\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {BCD}

Câu hỏi số 529063:

Thông hiểu

Cho tứ diện \(ABCD\) có tam giác \(BCD\) vuông tại \(C,AB\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), \(AB = 5a,BC = 3a\) và \(CD = 4a\). Tính bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện \(ABCD\).

A. \(R = \dfrac{{5a\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(R = \dfrac{{5a\sqrt 2 }}{2}\)

C. \(R = \dfrac{{5a\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(R = \dfrac{{5a\sqrt 2 }}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:529063

Phương pháp giải

Hình chóp có các điểm cùng nhìn đoạn thẳng \(AD\) dưới một góc vuông. Khi đó, tâm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AD\) và bán kính \(R = \dfrac{{AD}}{2}\).

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AD\)

Ta có: \(AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot BD \Rightarrow \Delta ABD\) vuông tại \(B \Rightarrow B\) nhìn cạnh \(AD\) dưới một góc vuông (1)

Vì \(AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot CD\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot BC\\CD \bot AB\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow CD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow CD \bot AC\)

\( \Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại \(C \Rightarrow C\) nhìn cạnh \(AD\) dưới một góc vuông (2)

Từ (1) và (2), suy ra \(B,C\) thuộc mặt cầu tâm \(I\) có bán kính \(R = \dfrac{{AD}}{2}\)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(B \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt {34} \)

\(\Delta ACD\) vuông tại \(C \Rightarrow AD = \sqrt {A{C^2} + C{D^2}} = 5a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \) Bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện \(ABCD\) là \(R = \dfrac{{AD}}{2} = \dfrac{{5a\sqrt 2 }}{2}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.