Cho tứ diện $ABCD$ có tam giác $BCD$ vuông tại $C,AB$ vuông góc với mặt phẳng \(\left( {BCD}

Câu hỏi số 529063:

Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ có tam giác $BCD$ vuông tại $C,AB$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ , $AB = 5a,BC = 3a$ và $CD = 4a$ . Tính bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện $ABCD$ .

R = \frac{5 a \sqrt{3}}{3}

$R = \dfrac{{5a\sqrt 3 }}{3}$

R = \frac{5 a \sqrt{2}}{2}

$R = \dfrac{{5a\sqrt 2 }}{2}$

R = \frac{5 a \sqrt{3}}{2}

$R = \dfrac{{5a\sqrt 3 }}{2}$

R = \frac{5 a \sqrt{2}}{3}

$R = \dfrac{{5a\sqrt 2 }}{3}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:529063

Phương pháp giải

Hình chóp có các điểm cùng nhìn đoạn thẳng $AD$ dưới một góc vuông. Khi đó, tâm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AD$ và bán kính $R = \dfrac{{AD}}{2}$ .

Giải chi tiết

Gọi $I$ là trung điểm của $AD$

Ta có: $AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot BD \Rightarrow \Delta ABD$ vuông tại $B \Rightarrow B$ nhìn cạnh $AD$ dưới một góc vuông (1)

Vì $AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot CD$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot BC\\CD \bot AB\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow CD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow CD \bot AC$

$\Rightarrow \Delta ACD$ vuông tại $C \Rightarrow C$ nhìn cạnh $AD$ dưới một góc vuông (2)

Từ (1) và (2), suy ra $B,C$ thuộc mặt cầu tâm $I$ có bán kính $R = \dfrac{{AD}}{2}$

$\Delta ABC$ vuông tại $B \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt {34}$

$\Delta ACD$ vuông tại $C \Rightarrow AD = \sqrt {A{C^2} + C{D^2}} = 5a\sqrt 2$

$\Rightarrow$ Bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện $ABCD$ là $R = \dfrac{{AD}}{2} = \dfrac{{5a\sqrt 2 }}{2}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.