Chứng minh rằng \(4xy \le {\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right).\)

Câu hỏi số 529236:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:529236

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp xét hiệu.

Giải chi tiết

+ Xét hiệu \({\left( {x + y} \right)^2} - 4xy\) ta có: \({\left( {x + y} \right)^2} - 4xy = \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) - 4xy = {\left( {x - y} \right)^2}\).

Vì \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {x + y} \right)^2} - 4xy \ge 0 \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

+ Xét hiệu \(2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - {\left( {x + y} \right)^2}\) ta có: \(2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - {\left( {x + y} \right)^2} = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) = {\left( {x - y} \right)^2}\).

Vì \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) nên \(2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - {\left( {x + y} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {x + y} \right)^2}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) theo tính chất bắc cầu ta được \(4xy \le {\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right).\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link