Chứng minh rằng \(3\left( {ab + bc + ca} \right) \le {\left( {a + b + c} \right)^2} \le 3\left( {{a^2} + {b^2} +

Câu hỏi số 529237:

Vận dụng

Chứng minh rằng \(3\left( {ab + bc + ca} \right) \le {\left( {a + b + c} \right)^2} \le 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right).\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:529237

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp xét hiệu.

Giải chi tiết

Ta có: \(3\left( {ab + bc + ca} \right) \le {\left( {a + b + c} \right)^2} \le 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right).\)

+ Xét hiệu \({\left( {a + b + c} \right)^2} - 3\left( {ab + bc + ca} \right)\) ta được:

\({\left( {a + b + c} \right)^2} - 3\left( {ab + bc + ca} \right) = \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca} \right) - 3\left( {ab + bc + ca} \right) = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca\\ = \dfrac{1}{2}\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] \ge 0\end{array}\)

Suy ra \({\left( {a + b + c} \right)^2} - 3\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 0 \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} \ge \,3\left( {ab + bc + ca} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

+ Xét hiệu \(3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - {\left( {a + b + c} \right)^2}\) ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - {\left( {a + b + c} \right)^2}\\ = 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca} \right)\\ = 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right)\\ = {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\end{array}\)

Suy ra \(3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) ta có điều phải chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link