Cho ba số nguyên \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a = b - c = \dfrac{b}{c}\). Chứng minh rằng \(a + b + c\) có

Câu hỏi số 530863:

Vận dụng

Cho ba số nguyên \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a = b - c = \dfrac{b}{c}\). Chứng minh rằng \(a + b + c\) có giá trị là lập phương của một số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:530863

Phương pháp giải

+ Xác định điều kiện của phương trình

+ Xét từng trường hợp khi \(a = 0\) hoặc \(a \ne 0\)

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(c \ne 0\).

Nếu \(a = 0 \Rightarrow \dfrac{b}{c} = 0 \Rightarrow b = 0\).

Lại có \(b - c = a = 0 \Leftrightarrow c = 0\) (không thỏa mãn điều kiện xác định)

Do đó \(a \ne 0\).

Ta có: \(b = ca \Rightarrow b \ne 0\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}b = ca\,\, \vdots \,\,a\\b - c = a\,\, \vdots \,\,a\end{array} \right. \Rightarrow c\,\, \vdots \,\,a\).

Đặt \(b = ma,\,\,c = na\,\,\left( {m,n \in \mathbb{Z},\,\,m,n \ne 0} \right)\).

Khi đó ta có: \(a = ma - na = \dfrac{{ma}}{{na}} \Leftrightarrow a = \left( {m - n} \right)a = \dfrac{m}{n}\).

Từ \(a = \left( {m - n} \right)a \Leftrightarrow m - n = 1\,\,\left( {do\,\,a \ne 0} \right) \Leftrightarrow m = n + 1\).

Suy ra \(a = \dfrac{m}{n} = \dfrac{{n + 1}}{n} = 1 + \dfrac{1}{n}\).

Vì \(a \in \mathbb{Z} \Rightarrow \dfrac{1}{n} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 1 \Rightarrow a = 2,\,\,b = 4,\,\,c = 2\\n = - 1 \Rightarrow a = 0\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy \(a + b + c = 8 = {2^3}\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link