Cho \(a > b > 0\). Hãy so sánh \(\sqrt {a + 2} - \sqrt a \) với \(\sqrt {b + 2} - \sqrt b \).

Câu hỏi số 530966:

Vận dụng

A. \(\sqrt {a + 2} - \sqrt a < \sqrt {b + 2} - \sqrt b \)

B. \(\sqrt {a + 2} - \sqrt a > \sqrt {b + 2} - \sqrt b \)

C. \(\sqrt {a + 2} - \sqrt a = \sqrt {b + 2} - \sqrt b \)

D. Không có đáp án

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:530966

Phương pháp giải

Xét hiệu \(H = \left( {\sqrt {a + 2} - \sqrt a } \right) - \left( {\sqrt {b + 2} - \sqrt b } \right)\)

Từ giả thiết của đề bài, chứng minh \(H < 0\)

Giải chi tiết

Xét hiệu

\(\begin{array}{l}H = \left( {\sqrt {a + 2} - \sqrt a } \right) - \left( {\sqrt {b + 2} - \sqrt b } \right)\\H = \left( {\sqrt {a + 2} - \sqrt {b + 2} } \right) - \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\\H = \dfrac{{a + 2 - b - 2}}{{\sqrt {a + 2} + \sqrt {b + 2} }} - \dfrac{{a - b}}{{\sqrt a + \sqrt b }}\\H = \dfrac{{a - b}}{{\sqrt {a + 2} + \sqrt {b + 2} }} - \dfrac{{a - b}}{{\sqrt a + \sqrt b }}\\H = \left( {a - b} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {a + 2} + \sqrt {b + 2} }} - \dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }}} \right)\end{array}\)

Vì \(a > b > 0 \Rightarrow a - b > 0\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {a + 2} > \sqrt a \\\sqrt {b + 2} > \sqrt b \end{array} \right. \Rightarrow \sqrt {a + 2} + \sqrt {b + 2} > \sqrt a + \sqrt b \)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {a + 2} + \sqrt {b + 2} }} < \dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }}\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {a + 2} + \sqrt {b + 2} }} - \dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} < 0\).

Do đó \(\left( {a - b} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {a + 2} + \sqrt {b + 2} }} - \dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }}} \right) < 0\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow H = \left( {\sqrt {a + 2} - \sqrt a } \right) - \left( {\sqrt {b + 2} - \sqrt b } \right) < 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {a + 2} - \sqrt a < \sqrt {b + 2} - \sqrt b \end{array}\)

Vậy với \(a > b > 0\) thì \(\sqrt {a + 2} - \sqrt a < \sqrt {b + 2} - \sqrt b \).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link