Cho \(a > b > 0\). Hãy so sánh \(\sqrt {a + 2} - \sqrt a \) với \(\sqrt {b + 2} - \sqrt b \).

Câu hỏi số 530966:

Vận dụng

A. \(\sqrt {a + 2} - \sqrt a < \sqrt {b + 2} - \sqrt b \)

B. \(\sqrt {a + 2} - \sqrt a > \sqrt {b + 2} - \sqrt b \)

C. \(\sqrt {a + 2} - \sqrt a = \sqrt {b + 2} - \sqrt b \)

D. Không có đáp án

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:530966

Phương pháp giải

Xét hiệu \(H = \left( {\sqrt {a + 2} - \sqrt a } \right) - \left( {\sqrt {b + 2} - \sqrt b } \right)\)

Từ giả thiết của đề bài, chứng minh \(H < 0\)

Giải chi tiết

Xét hiệu

\(\begin{array}{l}H = \left( {\sqrt {a + 2} - \sqrt a } \right) - \left( {\sqrt {b + 2} - \sqrt b } \right)\\H = \left( {\sqrt {a + 2} - \sqrt {b + 2} } \right) - \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\\H = \dfrac{{a + 2 - b - 2}}{{\sqrt {a + 2} + \sqrt {b + 2} }} - \dfrac{{a - b}}{{\sqrt a + \sqrt b }}\\H = \dfrac{{a - b}}{{\sqrt {a + 2} + \sqrt {b + 2} }} - \dfrac{{a - b}}{{\sqrt a + \sqrt b }}\\H = \left( {a - b} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {a + 2} + \sqrt {b + 2} }} - \dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }}} \right)\end{array}\)

Vì \(a > b > 0 \Rightarrow a - b > 0\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {a + 2} > \sqrt a \\\sqrt {b + 2} > \sqrt b \end{array} \right. \Rightarrow \sqrt {a + 2} + \sqrt {b + 2} > \sqrt a + \sqrt b \)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {a + 2} + \sqrt {b + 2} }} < \dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }}\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {a + 2} + \sqrt {b + 2} }} - \dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} < 0\).

Do đó \(\left( {a - b} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {a + 2} + \sqrt {b + 2} }} - \dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }}} \right) < 0\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow H = \left( {\sqrt {a + 2} - \sqrt a } \right) - \left( {\sqrt {b + 2} - \sqrt b } \right) < 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {a + 2} - \sqrt a < \sqrt {b + 2} - \sqrt b \end{array}\)

Vậy với \(a > b > 0\) thì \(\sqrt {a + 2} - \sqrt a < \sqrt {b + 2} - \sqrt b \).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link