Cho hình vuông \(ABCD,\) các điểm \(M,N\) thay đổi trên các cạnh \(BC,CD\) sao cho góc \(MAN\) bằng
Cho hình vuông \(ABCD,\) các điểm \(M,N\) thay đổi trên các cạnh \(BC,CD\) sao cho góc \(MAN\) bằng \({45^0}\) (\(M,N\) không trùng với các đỉnh của hình vuông). Gọi \(P,Q\) lần lượt là giao điểm của \(AM,AN\) với \(BD.\) Chứng minh rằng:
1) Tứ giác \(ABMQ\) và tứ giác \(MNQP\) là các tứ giác nội tiếp.
2) \(NA\) là phân giác của góc \(MND.\)
3) \(MN\) tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Quảng cáo
1) Chứng minh được:\(\angle QMP = {45^0}\) và \(\angle QNP = {45^0}\) nên tứ giác \(MNQP\) nội tiếp đường tròn (tứ giác có hai đình kề cùng chắn một cạnh dưới các góc bằng nhau)
2) Chứng minh: \(\angle DNA = \angle QNM = {90^0} - \angle QPN\) suy ra \(\angle DNA = \angle ANM\) hay \(AN\) là phân giác góc \(\angle MND.\)
3) + Gọi \(H\) là giao điểm của \(NP\) và \(MQ\).
+ \(H\) là trực tâm của tam giác \(AMN\).
+ Gọi giao điểm của \(AH\) và \(MN\) là \(I \Rightarrow AI \bot MN\)
+ \(\Delta AMB = \Delta AMI\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\( \Rightarrow AB = AI\) (cặp cạnh tương ứng) nên \(AI\) có độ dài không đổi.
\( \Rightarrow \left( {A;AI} \right)\) cố định.
\( \Rightarrow \) Đpcm
1) Ta có: \(\angle MAN = {45^0}\) hay \(\angle MAQ = {45^0}\).
Lại có \(\angle CBD = {45^0}\) (do \(BD\) là đường chéo của hình vuông \(ABCD\) nên \(BD\) là phân giác của \(\angle ABC\)) nên \(\angle MBQ = {45^0}\).
Do đó \(\angle MAQ = \angle MBQ = {45^0}\) suy ra tứ giác \(ABMQ\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đình kề cùng chắn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
Suy ra \(\angle QMA = \angle QBA = {45^0}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AQ\)) \( \Rightarrow \angle QMP = {45^0}\) (1)
Ta có: \(\angle BDC = {45^0}\) (do \(BD\) là đường chéo của hình vuông) nên \(\angle NDP = {45^0}\).
Mà \(\angle MAN = {45^0}\,\left( {gt} \right)\) nên \(\angle PAN = {45^0}\).
Do đó \(\angle NDP = \angle PAN\) suy ra tứ giác \(ADNP\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đình kề cùng chắn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
Suy ra \(\angle ANP = \angle ADP = {45^0} = \angle QNP\) (2) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AP\)).
Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right)\) ta có \(\angle QMP = \angle QNP = {45^0}\) suy ra tứ giác \(MNQP\) nội tiếp đường tròn (tứ giác có hai đình kề cùng chắn một cạnh dưới các góc bằng nhau) (đpcm).
2) Do tứ giác \(ADNP\) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\angle APN + \angle ADN = {180^0}\) (tính chất tứ giác nội tiếp).
Mà \(\angle ADN = {90^0}\) (do \(ABCD\) là hình vuông) nên \(\angle APN = {90^0}\).
Xét tam giác vuông \(ADN\) ta có: \(\angle DNA = {90^0} - \angle DAN = {90^0} - \angle DPN = {90^0} - \angle QPN\) (\(\angle DAN = \angle DPN\) do là hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DN\)).
Do tứ giác \(MPQN\) nội tiếp đường tròn (cmt) nên \(\angle QNM = \angle APQ = {90^0} - \angle QPN\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
Do đó \(\angle DNA = \angle QNM\) suy ra \(\angle DNA = \angle ANM\) hay \(AN\) là phân giác góc \(\angle MND.\) (đpcm).
3) Gọi \(H\) là giao điểm của \(NP\) và \(MQ\).
Vì tứ giác \(ABMQ\) nội tiếp (cmt) nên \(\angle ABM + \angle AQM = {180^0}\).
Mà \(\angle ABM = \angle ABC = {90^0}\) \( \Rightarrow \angle AQM = {90^0}\) \( \Rightarrow MQ \bot AN\).
Lại có \(\angle APN = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\) nên \(NP \bot AM\).
Mà \(MQ \cap NP = \left\{ H \right\}\) \( \Rightarrow \) \(H\) là trực tâm của tam giác \(AMN\).
Gọi giao điểm của \(AH\) và \(MN\) là \(I.\)
Suy ra \(AI \bot MN\) (do \(AI\) là đường cao thứ ba của tam giác \(AMN\)).
Ta có: tứ giác \(ABMQ\) nội tiếp (cmt) nên \(\angle AQB = \angle AMB\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\)).
Mà tứ giác \(MPQN\) nội tiếp (cmt) nên \(\angle AQP = \angle NMP\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
Suy ra \(\angle AMB = \angle NMP\) hay \(\angle AMB = \angle IMA\).
Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta AMI\) ta có:
\(\angle ABM = \angle AIM = {90^0}\)
\(\angle AMB = \angle IMA\,\,\left( {cmt} \right)\)
\(AM\) là cạnh chung
Do đó \(\Delta AMB = \Delta AMI\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\( \Rightarrow AB = AI\) (cặp cạnh tương ứng) nên \(AI\) có độ dài không đổi.
\( \Rightarrow \left( {A;AI} \right)\) cố định.
Lại có \(AI \bot MN\,\,\left( {cmt} \right)\) \( \Rightarrow MN\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {A;AI} \right)\) tại \(I\).
Vậy \(MN\) luôn tiếp xúc với đường tròn tâm \(A\) bán kính \(AI\) cố định (đpcm).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
