Cho \(a,\,\,b\) là hai số thực thỏa mãn \(a + b \ge 2\). Chứng minh rằng \({a^4} + {b^4} \ge {a^3} +

Câu hỏi số 531729:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,\,b\) là hai số thực thỏa mãn \(a + b \ge 2\). Chứng minh rằng \({a^4} + {b^4} \ge {a^3} + {b^3}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:531729

Phương pháp giải

Giả sử \({a^4} + {b^4} \ge {a^3} + {b^3}\)

Do \(a + b \ge 2\) nên ta có \(2\left( {{a^4} + {b^4}} \right) \ge \left( {a + b} \right)\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\)\( \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2}\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) \ge 0\)

Từ điều kiện đề bài, chứng minh được \({\left( {a - b} \right)^2}\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) \ge 0\,\,\forall a,b\)

Suy ra điều giả sử là đúng, từ đó kết luận.

Giải chi tiết

Giả sử \({a^4} + {b^4} \ge {a^3} + {b^3}\)

Do \(a + b \ge 2\) nên ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2\left( {{a^4} + {b^4}} \right) \ge \left( {a + b} \right)\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^4} + {b^4}} \right) \ge {a^4} + {b^4} + a{b^3} + {a^3}b\\ \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} \ge a{b^3} + {a^3}b\\ \Leftrightarrow {a^4} - {a^3}b + {b^4} - a{b^3} \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^3}\left( {a - b} \right) - {b^3}\left( {a - b} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^3} - {b^3}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2}\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) \ge 0\end{array}\)

Ta có:

\({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\,\,\forall a,\,\,b\)

\({a^2} + ab + {b^2} = {a^2} + 2.a.\dfrac{1}{2}b + \dfrac{1}{4}{b^2} + \dfrac{3}{4}{b^2} = {\left( {a + \dfrac{1}{2}b} \right)^2} + \dfrac{3}{4}{b^2} \ge 0\,\,\forall a,\,\,b\).

Do đó \({\left( {a - b} \right)^2}\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) \ge 0\,\,\forall a,b\).

Vậy với \(a,\,\,b\) là hai số thực thỏa mãn \(a + b \ge 2\) thì ta luôn chứng minh được \({a^4} + {b^4} \ge {a^3} + {b^3}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link