Trên nửa đường tròn tâm \(O\)đường kính \(AB\) với \(AB = 2022\), lấy điểm \(C\) (\(C\) khác

Câu hỏi số 532633:

Vận dụng

Trên nửa đường tròn tâm \(O\)đường kính \(AB\) với \(AB = 2022\), lấy điểm \(C\) (\(C\) khác \(A\) và \(B\)) từ \(C\) kẻ \(CH\) vuông góc với \(AB\)\(\left( {H \in AB} \right)\). Gọi \(D\) là điểm bất kì trên đoạn \(CH\)(\(D\) khác \(C,H\)), đường thẳng \(AD\) cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai \(E\).

1) Chứng minh \(BHDE\) nội tiếp.

2) Chứng minh \(AD.EC = CD.AC\)

3) Chứng minh \(AD.AE + BH.BA = {2022^2}\)

4) Khi điểm \(C\) di động trên nửa đường tròn \(C\) khác \(A,\,B\) và điểm chính giữa cung \(AB\), xác định vị trí điểm \(C\) sao cho chu vi tam giác \(COH\) đạt giá trị lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:532633

Phương pháp giải

1) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

2) Ta sẽ chứng minh:

3) Ta sẽ chứng minh:

Ta có: \(AD.AE + BH.AB = AH.AB + BH.AB = \left( {AH + BH} \right).AB = A{B^2} = {2022^2}\,\,\left( {dpcm} \right)\)

4) Tính chu vi của tam giác \(COH\)

Chu vi tam giác \(COH\) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow \) \(OH + CH\) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow \) \({\left( {OH + CH} \right)^2}\) đạt giá trị lớn nhất

Áp dụng định lý cô-si cho \(OH,CH\) tìm được giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết

1) Trong \(\left( O \right)\) ta có \(\angle AEB = {90^0}\)( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tứ giác \(BHDE\) có: \(\angle BED + \angle BHD = {180^0}\).

Suy ra tứ giác \(BHDE\) nội tiếp (dhnb).

2) Ta có:

\(\angle ACD = \angle CBA\) (cùng phụ với \(\angle BCD\)).

\(\angle CEA = \angle CBA\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(CA\)).

\( \Rightarrow \angle ACD = \angle CEA\).

Xét tam giác \(ACD\) và tam giác \(AEC\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle CAD = \angle CAE\\\angle ACD = \angle CEA\,\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra \( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{CD}}{{EC}} \Rightarrow AD.EC = CD.AC\,\,\left( {dpcm} \right)\).

3) Xét tam giác \(AHD\) và tam giác \(AEB\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle AHD = \angle AEB = {90^0}\\\angle HAD = \angle BAE\end{array} \right.\)

Suy ra \(\dfrac{{AH}}{{AE}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} \Rightarrow AD.AE = AH.AB\)\(\left( 1 \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}AD.AE + BH.AB = AH.AB + BH.AB\\ = \left( {AH + BH} \right).AB = A{B^2} = {2022^2}\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

4) Chu vi tam giác \(COH\) là: \(CO + OH + CH = \dfrac{{AB}}{2} + OH + CH = 1011 + OH + CH\)

Ta có: \(0 < OH,CH < OC = 1011\).

Áp dụng định lý cô-si cho \(OH,CH\) ta có:

\({\left( {OH + CH} \right)^2} \le 2\left( {O{H^2} + C{H^2}} \right) = 2.O{C^2} \Rightarrow OH + CH \le OC\sqrt 2 \)

Dấu “=” xảy ra khi \(OH = CH = \dfrac{{OC\sqrt 2 }}{2}\) hay \(\Delta OHC\) vuông cân tại \(H\) \( \Rightarrow \angle COA = {45^0}\).

Vậy chu vi tam giác \(COH\) đạt giá trị lớn nhất khi góc \(COA\) bằng \({45^0}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link