Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho Parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d

Câu hỏi số 532632:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho Parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 2\left( {m - 1} \right)x - m + 3\). Gọi \({x_1},{x_2}\) lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và Parabol \(\left( P \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = x_1^2 + x_2^2\).

A. \({M_{\min }} = \dfrac{{15}}{4}\) khi \(m = \dfrac{5}{4}\).

B. \({M_{\min }} = \dfrac{{5}}{4}\) khi \(m = \dfrac{15}{4}\).

C. \({M_{\min }} = \dfrac{{15}}{14}\) khi \(m = \dfrac{5}{4}\).

D. \({M_{\min }} = \dfrac{{15}}{4}\) khi \(m = \dfrac{5}{14}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:532632

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) \(\left( 1 \right)\)

Để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).

\( \Leftrightarrow \Delta > 0\)

Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính được \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\) theo \(m\)

Thay vào \(M = x_1^2 + x_2^2\), vận dụng hằng đẳng thức tìm được giá trị nhỏ nhất của \(M\)

Giải chi tiết

Hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là nghiệm của phương trình:

\({x^2} = 2\left( {m - 1} \right)x - m + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\,\,\left( * \right)\)

Phương trình (*) có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m - 3} \right) = {m^2} - 2m + 1 - m + 3\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} - 3m + 4 = {\left( {m - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0\,\,\,\,\forall m \in \mathbb{R}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m\).

\( \Rightarrow \) \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) với mọi \(m\).

Áp dụng định lí Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,M = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\\ \Leftrightarrow M = {\left[ {2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 2.\left( {m - 3} \right)\\ \Leftrightarrow M = 4{m^2} - 8m + 4 - 2m + 6\\ \Leftrightarrow M = 4{m^2} - 10m + 10\\ \Leftrightarrow M = {\left( {2m} \right)^2} - 2.2m.\dfrac{5}{2} + {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^2} + \dfrac{{15}}{4}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow M = {\left( {2m - \dfrac{5}{2}} \right)^2} + \dfrac{{15}}{4} \ge \dfrac{{15}}{4}\,\,\forall m\) (Vì \({\left( {2m - \dfrac{5}{2}} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\))

Vậy \({M_{\min }} = \dfrac{{15}}{4}\). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(2m = \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{4}\).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link