Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \({\bf{R}}\backslash \left\{ { - 1;2} \right\}\) thỏa mãn

Câu hỏi số 532943:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \({\bf{R}}\backslash \left\{ { - 1;2} \right\}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} - x - 2}}\); \(f\left( { - 3} \right) - f\left( 3 \right) = 0\) và \(f\left( 0 \right) = \dfrac{1}{3}\). Giá trị của biểu thức \(f\left( { - 4} \right) + f\left( 1 \right) - f\left( 4 \right)\) bằng:

A. \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}\ln 2.\)

B. \(\dfrac{1}{3} - \ln 2.\)

C. \(1 + \dfrac{1}{3}\ln \dfrac{8}{5}.\)

D. \(1 + \ln 80.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:532943

Phương pháp giải

Tính \(\int {\dfrac{1}{{{x^2} + x - 2}}} dx = \,\dfrac{1}{3}\int {\left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \)

Sau đó, tính \(f\left( { - 4} \right) - f\left( 4 \right)\), tính \(f\left( 1 \right)\).

Suy ra \(f\left( { - 4} \right) + f\left( 1 \right) - f\left( 4 \right)\).

Giải chi tiết

Ta có \(f(x) = \,\int {\dfrac{1}{{{x^2} + x - 2}}} dx = \,\dfrac{1}{3}\int {\left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx = \,\dfrac{1}{3}\ln \left| {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right| + C} \)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \,\dfrac{1}{3}\ln \,\left| {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right| + C = \,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{3}\ln \,\left| {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right| + {C_1};\,\,x > 2}\\{\dfrac{1}{3}\ln \,\left| {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right| + {C_2};\,\,\, - 1 < x < 2}\\{\dfrac{1}{3}\ln \,\left| {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right| + {C_3};\,\,x < - 1}\end{array}} \right.\).

Khi đó, \(f\left( { - 3} \right) - f\left( { - 4} \right) = \dfrac{1}{3}\ln \dfrac{5}{4};\,\,f\left( 4 \right) - f\left( 3 \right) = \dfrac{1}{3}\ln \dfrac{8}{5}\)

\( \Rightarrow f\left( { - 3} \right) - f\left( { - 4} \right) + f\left( 4 \right) - f\left( 3 \right) = \dfrac{1}{3}\ln 2\, \Rightarrow f\left( { - 4} \right) - f\left( 4 \right) = \dfrac{{ - 1}}{3}\ln 2\)

Mặt khác, \(f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = \dfrac{1}{3}\ln \dfrac{1}{4} \Rightarrow f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}\ln \dfrac{1}{4}\).

Do đó, \(f\left( { - 4} \right) + f\left( 1 \right) - f\left( 4 \right) = \,\dfrac{1}{3} - \ln 2\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.