Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(\left[ {{{\log }_2}\left( {x - 1}
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(\left[ {{{\log }_2}\left( {x - 1} \right) + x - 2} \right]\left( {{4^x} - {2^{x + 3}} + m - 1} \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Biến đổi \(\left[ {{{\log }_2}\left( {x - 1} \right) + x - 2} \right]\left( {{4^x} - {2^{x + 3}} + m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}\left( {x - 1} \right) + x - 2 = 0\,\,\,\left( 1 \right)}\\{{4^x} - {2^{x + 3}} + m - 1 = 0\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
Giải phương trình \(\left( 1 \right)\). Chứng minh phương trình này có nghiệm duy nhất \(x = {x_0}\).
Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \({x_0}\).
Chú ý: Để giải phương trình \(m.{a^{2x}} + n.{a^x} + p = 0\) ta đặt \(t = a{}^x;\,\,t > 0\).
Phương trình đã cho tương đương \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}\left( {x - 1} \right) + x - 2 = 0\,\,\,\left( 1 \right)}\\{{4^x} - {2^{x + 3}} + m - 1 = 0\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {x - 1} \right) + x - 2 \Rightarrow f'\left( x \right) = \,\dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\ln 2}} + 1 > 0\,\,\,\forall x > 1\).
Lại có \(f\left( 2 \right) = 0\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) có đúng một nghiệm là \(x = 2\).
Do đó, để phương trình \(\left[ {{{\log }_2}\left( {x - 1} \right) + x - 2} \right]\left( {{4^x} - {2^{x + 3}} + m - 1} \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(2\).
Xét phương trình \({4^x} - {2^{x + 3}} + m - 1 = 0\,\,\,\left( 2 \right) \Leftrightarrow {2^{2x}} - {8.2^x} + m - 1 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(2\)
Đặt \(t = {2^x};\,\,t > 0\) phương trình trên trở thành \({t^2} - 8t + m - 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 8t - 1 = - m\,\,\left( 3 \right)\). Tìm \(m\) để phương trình \(\left( 3 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(4\) thỏa mãn \(2 < {t_1} < {t_2}\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 8t - 1;\,\,f'\left( t \right) = \,2t - 8 = 0 \Leftrightarrow t = 4\).
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \( - 17 < - m < - 13 \Leftrightarrow 13 < m < 17\).
Mà \(m \in {\bf{Z}} \Rightarrow m \in \left\{ {14;15;16} \right\}\). Vậy có ba giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
