Cho \(\Delta ABC\) nhọn có đường cao \(AD\) và \(H\) là trực tâm tam giác. Vẽ đường tròn tâm \(I\)
Cho \(\Delta ABC\) nhọn có đường cao \(AD\) và \(H\) là trực tâm tam giác. Vẽ đường tròn tâm \(I\) đường kính \(BC,\) từ \(A\) kẻ các tiếp tuyến \(AM,\,\,AN\) với đường tròn \(\left( I \right)\) (\(M,\,\,N\) là các tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác \(AMIN\) nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh \(\angle AMN = \angle ADN\) và \(\angle AHN = \angle AND.\)
c) Chứng minh ba điểm \(M,\,\,H,\,\,N\) thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.
b) Ta sẽ chứng minh: \(AE.AC = AH.AD;AE.AC = A{N^2} \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AN}} = \dfrac{{AN}}{{AD}}\)
Chứng minh:
c) Ta sẽ chứng minh: \(\angle ANH = \angle ANM\,\,\left( { = \angle ADN} \right)\)
a) Ta có: \(AM,\,\,AN\) là các tiếp điểm của đường tròn \(\left( I \right)\) tại \(M\) và \(N\)
\( \Rightarrow \angle AMI = \angle ANI = {90^0}\) (định nghĩa đường tiếp tuyến của đường tròn).
Xét tứ giác \(AMIN\) ta có: \(\angle AMI + \angle ANI = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
\( \Rightarrow AMIN\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\)) (đpcm).
b) Chứng minh \(\angle AMN = \angle ADN\) và \(\angle AHN = \angle AND.\)
Ta có: \(AD\) là đường cao của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow AD \bot BC = \left\{ D \right\}\) hay \(\angle ADI = {90^0}\)
Xét tứ giác \(ADIN\) ta có: \(\angle ADN + \angle ANI = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
\( \Rightarrow ADIN\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\))
\( \Rightarrow A,\,\,D,\,\,I,\,\,N\) cùng thuộc một đường tròn.
Lại có: \(AMIN\) là tứ giác nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow A,\,\,M,\,\,I,\,\,N\) cùng thuộc một đường tròn.
\( \Rightarrow A,\,\,M,\,\,D,\,\,I,\,\,N\) cùng thuộc một đường tròn.
Hay \(AMDN\) là tứ giác nội tiếp.
\( \Rightarrow \angle AMN = \angle ADN\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AN\)). (đpcm)
Gọi \(E\) là chân đường cao hạ từ \(B\) của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow BE \bot AC = \left\{ E \right\}\) hay \(\angle AEH = {90^0}\)
Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta ACD\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle DAC\,\,chung\\\angle AEH = \angle ADC = {90^0}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{AE}}{{AD}}\\ \Leftrightarrow AE.AC = AH.AD\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Xét \(\Delta AEN\) và \(\Delta ANC\) ta có:
\(\angle CAN\,\,\,chung\)
\(\angle ACN = \angle ANE\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(EN\))
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AN}} = \dfrac{{AN}}{{AC}}\\ \Leftrightarrow AE.AC = A{N^2}\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(A{N^2} = AH.AD\,\,\,\left( { = AE.AC} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AN}} = \dfrac{{AN}}{{AD}}\)
Xét \(\Delta AHN\) và \(\Delta AHD\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\angle HAN\,\,\,chung\\\dfrac{{AH}}{{AN}} = \dfrac{{AN}}{{AD}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \angle AHN = \angle AND\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)
c) Ta có: \(\angle AMN = \angle ANM\) (hai góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(MN\) của \(\left( I \right)\))
\( \Rightarrow \angle ANM = \angle ADN\,\,\left( { = \angle AMN} \right)\)
Ta có:
\( \Rightarrow \angle ANH = \angle ADN\) (hai góc tương ứng)
\( \Rightarrow \angle ANH = \angle ANM\,\,\left( { = \angle ADN} \right)\)
Lại có \(H,\,\,M\) nằm cùng phía với \(AN\)
\( \Rightarrow H,\,\,M,\,\,N\) thẳng hàng. (đpcm).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
