Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và hai điểm \(A\left( { - 3;9} \right)\), \(B\left( {2;4} \right)\).
Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và hai điểm \(A\left( { - 3;9} \right)\), \(B\left( {2;4} \right)\). Tìm điểm \(M\) có hoành độ thuộc khoảng \(\left( { - 3;2} \right)\) trên \(\left( P \right)\) sao cho diện tích tam giác \(MAB\) lớn nhất.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi \(M\left( {a;{a^2}} \right) \in \left( P \right)\) \(\left( { - 3 < a < 2} \right)\).
Gọi \(H,\,\,K,\,\,I\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\,\,B,\,\,M\) lên trục \(Ox\).
Biểu diễn \({S_{\Delta MAB}} = {S_{ABKH}} - {S_{AMIH}} - {S_{BMIK}}\) để tìm được giá trị lớn nhất của tam giác \(MAB\).
Gọi \(M\left( {a;{a^2}} \right) \in \left( P \right)\) \(\left( { - 3 < a < 2} \right)\).
Gọi \(H,\,\,K,\,\,I\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\,\,B,\,\,M\) lên trục \(Ox\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{\Delta MAB}} = {S_{ABKH}} - {S_{AMIH}} - {S_{BMIK}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {9 + 4} \right).5 - \dfrac{1}{2}\left( {9 + {a^2}} \right).\left| { - 3 - a} \right| - \dfrac{1}{2}\left( {4 + {a^2}} \right).\left| {2 - a} \right|\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{65}}{2} - \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {9 + {a^2}} \right).\left| { - 3 - a} \right| + \left( {4 + {a^2}} \right).\left| {2 - a} \right|} \right]\end{array}\)
Vì \( - 3 < a < 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 3 > 0\\2 - a > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| { - 3 - a} \right| = a + 3\\\left| {2 - a} \right| = 2 - a\end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{\Delta MAB}} = \dfrac{{65}}{2} - \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {9 + {a^2}} \right).\left( {a + 3} \right) + \left( {4 + {a^2}} \right).\left( {2 - a} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{65}}{2} - \dfrac{1}{2}\left( {9a + 27 + {a^3} + 3{a^2} + 8 - 4a + 2{a^2} - {a^3}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{65}}{2} - \dfrac{1}{2}\left( {5{a^2} + 5a + 35} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{65}}{2} - \dfrac{5}{2}\left( {{a^2} + a + 7} \right)\end{array}\)
Ta có \({a^2} + a + 7 = {a^2} + 2.a.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{{27}}{4} = {\left( {a + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{27}}{4} \ge \dfrac{{27}}{4}\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta MAB}} \le \dfrac{{65}}{2} - \dfrac{5}{2}.\dfrac{{27}}{4} = \dfrac{{125}}{8}\).
Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác \(MAB\) bằng \(\dfrac{{125}}{8}\), đạt được khi \(a = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow M\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}} \right)\).
Đáp án cần chọn là: B
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
