Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $a$ . Hình chiếu của

Câu hỏi số 535982:

Vận dụng

Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $a$ . Hình chiếu của điểm $A'$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ và diện tích tam giác $A'AB$ bằng $\dfrac{{{a^2}}}{4}$ . Tính góc giữa đường thẳng $BB'$ và mặt phẳng $\left( {A'GC} \right)$ .

${60^0}$

${30^0}$

${90^0}$

${45^0}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:535982

Phương pháp giải

- Sử dụng $BB'//AA' \Rightarrow \angle \left( {BB';\left( {A'GC} \right)} \right) = \angle \left( {AA';\left( {A'GC} \right)} \right)$ .

- Xác định $\angle \left( {AA';\left( {A'GC} \right)} \right)$ bằng cách chứng minh $AM \bot \left( {A'GC} \right)$ với $M$ là trung điểm của $AB$ .

- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác dể tính $A'M$ .

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Giải chi tiết

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ .

Ta có $BB'//AA' \Rightarrow \angle \left( {BB';\left( {A'GC} \right)} \right) = \angle \left( {AA';\left( {A'GC} \right)} \right)$ .

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AM \bot GC\\AM \bot A'G\end{array} \right. \Rightarrow AM \bot \left( {A'GC} \right)$ $\Rightarrow MA'$ là hình chiếu vuông góc của $AA'$ lên $\left( {A'GC} \right)$ .

$\Rightarrow \angle \left( {AA';\left( {A'GC} \right)} \right) = \angle \left( {AA';MA'} \right) = \angle AA'M$ .

Vì $AM \bot \left( {A'GC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AM \bot A'M$ hay $AB \bot A'M$ .

$\Rightarrow {S_{\Delta A'AB}} = \dfrac{1}{2}A'M.AB \Rightarrow A'M = \dfrac{{2{S_{\Delta A'AB}}}}{{AB}} = \dfrac{{2.\dfrac{{{a^2}}}{4}}}{a} = \dfrac{a}{2}$ .

Xét tam giác $A'AM$ vuông tại $M$ ta có $\tan \angle AA'M = \dfrac{{AM}}{{A'M}} = \dfrac{a}{2}:\dfrac{a}{2} = 1 \Rightarrow \angle AA'M = {45^0}$ .

Vậy $\angle \left( {BB';\left( {A'GC} \right)} \right) = {45^0}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.