Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(a\). Hình chiếu của

Câu hỏi số 535982:

Vận dụng

Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(a\). Hình chiếu của điểm \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) và diện tích tam giác \(A'AB\) bằng \(\dfrac{{{a^2}}}{4}\). Tính góc giữa đường thẳng \(BB'\) và mặt phẳng \(\left( {A'GC} \right)\).

A. \({60^0}\)

B. \({30^0}\)

C. \({90^0}\)

D. \({45^0}\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:535982

Phương pháp giải

- Sử dụng \(BB'//AA' \Rightarrow \angle \left( {BB';\left( {A'GC} \right)} \right) = \angle \left( {AA';\left( {A'GC} \right)} \right)\).

- Xác định \(\angle \left( {AA';\left( {A'GC} \right)} \right)\) bằng cách chứng minh \(AM \bot \left( {A'GC} \right)\) với \(M\) là trung điểm của \(AB\).

- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác dể tính \(A'M\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có \(BB'//AA' \Rightarrow \angle \left( {BB';\left( {A'GC} \right)} \right) = \angle \left( {AA';\left( {A'GC} \right)} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot GC\\AM \bot A'G\end{array} \right. \Rightarrow AM \bot \left( {A'GC} \right)\) \( \Rightarrow MA'\) là hình chiếu vuông góc của \(AA'\) lên \(\left( {A'GC} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {AA';\left( {A'GC} \right)} \right) = \angle \left( {AA';MA'} \right) = \angle AA'M\).

Vì \(AM \bot \left( {A'GC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AM \bot A'M\) hay \(AB \bot A'M\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta A'AB}} = \dfrac{1}{2}A'M.AB \Rightarrow A'M = \dfrac{{2{S_{\Delta A'AB}}}}{{AB}} = \dfrac{{2.\dfrac{{{a^2}}}{4}}}{a} = \dfrac{a}{2}\).

Xét tam giác \(A'AM\) vuông tại \(M\) ta có \(\tan \angle AA'M = \dfrac{{AM}}{{A'M}} = \dfrac{a}{2}:\dfrac{a}{2} = 1 \Rightarrow \angle AA'M = {45^0}\).

Vậy \(\angle \left( {BB';\left( {A'GC} \right)} \right) = {45^0}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.