Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ , cạnh \(AC = 2\sqrt

Câu hỏi số 535981:

Vận dụng

Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ , cạnh $AC = 2\sqrt 2$ . Biết $AC'$ tạo với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ một góc ${60^0}$ và $AC' = 4$ . Tính thể tích $V$ của khối đa diện $ABCC'B'$ .

$V = \dfrac{8}{3}$

$V = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{3}$

$V = \dfrac{{16\sqrt 3 }}{3}$

$V = \dfrac{{16}}{3}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:535981

Phương pháp giải

- Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A'$ lên $\left( {ABC} \right)$ , xác định $\angle \left( {A'C;\left( {ABC} \right)} \right)$ .

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính $A'H$ .

- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân tính độ dài $AB,\,\,BC$ và tính ${S_{\Delta ABC}}$ .

- Tính ${V_{ABC.A'B'C'}}$ và tính ${V_{ABCC'B'}} = \dfrac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}$ .

Giải chi tiết

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A'$ lên $\left( {ABC} \right)$ $\Rightarrow \angle \left( {A'C;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'C;HC} \right) = \angle A'CH = {60^0}$ .

Vì $ACC'A'$ là hình bình hành nên $A'C = AC' = 4$ $\Rightarrow A'H = A'C.\sin {60^0} = 4.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3$ .

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AB = BC = \dfrac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 2$ .

$\Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}.2.2 = 2$ .

$\Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{\Delta ABC}} = 2\sqrt 3 .2 = 4\sqrt 3$ .

Vậy ${V_{ABCC'B'}} = \dfrac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{2}{3}.4\sqrt 3 = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{3}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.