Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho hai số thực \(a,\,\,b\) đều lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S =
Cho hai số thực \(a,\,\,b\) đều lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = \dfrac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{\sqrt[4]{{ab}}}}b}}\) bằng:
Đáp án đúng là: D
- Sử dụng công thức \({\log _{{a^n}}}b = \dfrac{1}{n}{\log _a}b\), \(\dfrac{1}{{{{\log }_a}b}} = {\log _b}a\), \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\) (giả sử các biểu thức có nghĩa).
- Sử dụng BĐT Cô-si: Với \(x,\,\,y\) không âm ta có \(x + y \ge 2\sqrt {xy} \).
Ta có:
\(\begin{array}{l}S = \dfrac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{\sqrt[4]{{ab}}}}b}}\\S = \dfrac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \dfrac{1}{{4{{\log }_{ab}}b}}\\S = {\log _a}\left( {ab} \right) + \dfrac{1}{4}{\log _b}\left( {ab} \right)\\S = 1 + {\log _a}b + \dfrac{1}{4}\left( {{{\log }_b}a + 1} \right)\\S = \dfrac{5}{4} + {\log _a}b + \dfrac{1}{{4{{\log }_a}b}}\end{array}\)
Với \(a > 1,\,\,b > 1 \Rightarrow {\log _a}b > 0\).
Áp dụng BĐT Cô-si ta có \({\log _a}b + \dfrac{1}{{4{{\log }_a}b}} \ge 2\sqrt {{{\log }_a}b.\dfrac{1}{{4{{\log }_a}b}}} = 1\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\log _a}b = \dfrac{1}{{4{{\log }_a}b}} \Leftrightarrow {\log _a}b = \pm \dfrac{1}{2}\).
Khi đó \(S \ge \dfrac{5}{4} + 1 = \dfrac{9}{4}\).
Vậy \({S_{\min }} = \dfrac{9}{4}\).
Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
