Nhân dịp năm mới để trang trí một cây thông Noel, ở sân trung tâm có hình nón \(\left( N \right)\)

Câu hỏi số 539120:

Vận dụng

Nhân dịp năm mới để trang trí một cây thông Noel, ở sân trung tâm có hình nón \(\left( N \right)\) như hình vẽ sau. Người ta cuộn quanh cây bằng một sợi dây đèn LED nhấp nháy, bóng đèn hình hoa tuyết từ điểm \(A\) đến điểm \(M\) sao cho sợi dây luôn tựa trên mặt nón. Biết rằng bán kính đáy hình nón bằng \(8m\), độ dài đường sinh bằng \(24m\) và \(M\) là điểm sao cho \(2\overrightarrow {MS} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow 0 \). Hãy tính chiều dài nhỏ nhất của sợi dây đèn cần có

A. \(8\sqrt {19} \,\,\left( m \right)\)

B. \(8\sqrt {13} \,\,\left( m \right)\)

C. \(8\sqrt 7 \,\,\left( m \right)\)

D. \(9\sqrt {12} \,\,\left( m \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:539120

Phương pháp giải

- Biến đổi \(\overrightarrow {SM} \) theo \(\overrightarrow {SA} \) và tính độ dài \(SM\).

- Trải phẳng hình nón, tính độ dài cung \(AA'\) chính là chu vi đáy hình nón.

- Sử dụng công thức \(\alpha = \angle ASA' = \dfrac{{{l_{AA'}}}}{{SA}}\).

- Sử dụng định lí Cosin trong tam giác tính độ dài \(AM\).

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có \(2\overrightarrow {MS} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MS} + \overrightarrow {MS} + \overrightarrow {SA} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {SM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SA} \).

\( \Rightarrow SM = \dfrac{1}{3}SA = 8\,\,\left( m \right)\).

Trải phẳng hình nón ta có:

Khi đó chu vi đáy của hình nón cũng là độ dài cung \(AA'\), ta có: \({l_{AA'}} = 2\pi R = 16\pi \,\,\left( m \right)\).

Góc \(\alpha = \angle ASA' = \dfrac{{{l_{AA'}}}}{{SA}} = \dfrac{{16\pi }}{{24}} = \dfrac{{2\pi }}{3}\).

Chiều dài nhỏ nhất của sợi dây đèn cần có là đoạn thẳng \(AM\) có độ dài

\(AM = \sqrt {S{A^2} + S{M^2} - 2SA.SM.\cos \alpha } = \sqrt {{{24}^2} + {8^2} - 2.24.8.\cos \dfrac{{2\pi }}{3}} = 8\sqrt {13} \,\,\left( m \right)\) (định lí cosin trong tam giác)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.