Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), hình chiếu vuông góc của
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), hình chiếu vuông góc của điểm \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trung điểm của đường trung tuyến \(AM\) trong \(\Delta ABC\), biết thể tích lăng trụ bằng \(\dfrac{{3{a^3}}}{{16}}\). Khoảng cách giữa \(AA'\) và \(BC\) là \(\dfrac{{a\sqrt x }}{y}\). Tổng \(x + y\) là?
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Gọi \(O\) là trung điểm của \(AM \Rightarrow A'O \bot \left( {ABC} \right)\).
- Trong \(\left( {A'AM} \right)\) kẻ \(MK \bot AA'\) , chứng minh \(MK\) là đoạn vuông góc chung của \(AA'\) và \(BC\).
- Sử dụng tính chất tam giác đều tính \(AM\). Dựa vào thể tích lăng trụ tính chiều cao \(A'O\). Áp dụng định lí Pytago tính \(AA'\).
- Sử dụng \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}A'O.AM = \dfrac{1}{2}MK.AA'\), từ đó tính \(MK\).
Gọi \(O\) là trung điểm của \(AM \Rightarrow A'O \bot \left( {ABC} \right)\).
Trong \(\left( {A'AM} \right)\) kẻ \(MK \bot AA'\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\A'O \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {A'AM} \right) \Rightarrow BC \bot MK\).
\( \Rightarrow MK\) là đoạn vuông góc chung của \(AA'\) và \(BC\) \( \Rightarrow d\left( {AA';BC} \right) = MK\).
Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\), \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Ta có \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'O.{S_{\Delta ABC}} \Rightarrow A'O = \dfrac{{{V_{ABC.A'B'C'}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{{3{a^3}}}{{16}}:\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(A'AO\) có: \(AA' = \sqrt {A'{O^2} + A{O^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}A'O.AM = \dfrac{1}{2}MK.AA' \Rightarrow MK = \dfrac{{A'O.AM}}{{AA'}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
Vậy \(d\left( {AA';BC} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
