Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), hình chiếu vuông góc của
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), hình chiếu vuông góc của điểm \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trung điểm của đường trung tuyến \(AM\) trong \(\Delta ABC\), biết thể tích lăng trụ bằng \(\dfrac{{3{a^3}}}{{16}}\). Khoảng cách giữa \(AA'\) và \(BC\) là \(\dfrac{{a\sqrt x }}{y}\). Tổng \(x + y\) là?
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Gọi \(O\) là trung điểm của \(AM \Rightarrow A'O \bot \left( {ABC} \right)\).
- Trong \(\left( {A'AM} \right)\) kẻ \(MK \bot AA'\) , chứng minh \(MK\) là đoạn vuông góc chung của \(AA'\) và \(BC\).
- Sử dụng tính chất tam giác đều tính \(AM\). Dựa vào thể tích lăng trụ tính chiều cao \(A'O\). Áp dụng định lí Pytago tính \(AA'\).
- Sử dụng \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}A'O.AM = \dfrac{1}{2}MK.AA'\), từ đó tính \(MK\).
Gọi \(O\) là trung điểm của \(AM \Rightarrow A'O \bot \left( {ABC} \right)\).
Trong \(\left( {A'AM} \right)\) kẻ \(MK \bot AA'\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\A'O \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {A'AM} \right) \Rightarrow BC \bot MK\).
\( \Rightarrow MK\) là đoạn vuông góc chung của \(AA'\) và \(BC\) \( \Rightarrow d\left( {AA';BC} \right) = MK\).
Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\), \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Ta có \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'O.{S_{\Delta ABC}} \Rightarrow A'O = \dfrac{{{V_{ABC.A'B'C'}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{{3{a^3}}}{{16}}:\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(A'AO\) có: \(AA' = \sqrt {A'{O^2} + A{O^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}A'O.AM = \dfrac{1}{2}MK.AA' \Rightarrow MK = \dfrac{{A'O.AM}}{{AA'}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
Vậy \(d\left( {AA';BC} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
