Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\), \(f\left( x \right)\) có đạo hàm xác

Câu hỏi số 539119:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\), \(f\left( x \right)\) có đạo hàm xác định và liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn điều kiện \(f'\left( x \right) = \ln x.{f^2}\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\). Biết \(f\left( x \right) \ne 0,\,\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( e \right) = 2\). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1\).

A. \(y = - \dfrac{2}{3}x + 2\)

B. \(y = - \dfrac{2}{3}\)

C. \(y = \dfrac{2}{3}x + 1\)

D. \(y = \dfrac{2}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:539119

Phương pháp giải

- Biến đổi \(f'\left( x \right) = \ln x.{f^2}\left( x \right) \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = \ln x\), sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế.

- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \), tìm \(f\left( x \right)\).

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).

Giải chi tiết

Ta có \(f'\left( x \right) = \ln x.{f^2}\left( x \right) \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = \ln x\).

Lấy nguyên hàm hai vế ta được: \(\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx} = \int {\ln xdx} \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \int {\ln xdx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \int {\ln xdx} = x\ln x - \int {\dfrac{1}{x}.xdx} = x\ln x - x + C\).

\( \Rightarrow - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = x\ln x - x + C\).

Mà \(f\left( e \right) = 2\) nên \( - \dfrac{1}{{f\left( e \right)}} = e\ln e - e + C \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} = C\), do đó \( \Rightarrow - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = x\ln x - x - \dfrac{1}{2}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{2x\ln x - 2x - 1}}{2}\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{ - 2}}{{2x\ln x - 2x - 1}}\end{array}\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( 1 \right) = \ln 1.{f^2}\left( 1 \right) = 0\\f\left( 1 \right) = \dfrac{{ - 2}}{{2\ln 1 - 2 - 1}} = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\).

Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1\) là:

\(y = f'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) + f\left( 1 \right) \Leftrightarrow y = \dfrac{2}{3}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.