Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( x \right) + f'\left( x \right) = {e^{ - x}},\forall x \in

Câu hỏi số 539558:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( x \right) + f'\left( x \right) = {e^{ - x}},\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 2\). Tất cả các nguyên hàm của \(f\left( x \right){e^{2x}}\) là:

A. \(\left( {x - 2} \right){e^x} + {e^x} + C\)

B. \(\left( {x + 2} \right){e^{2x}} + {e^x} + C\)

C. \(\left( {x - 1} \right){e^x} + C\)

D. \(\left( {x + 1} \right){e^x} + C\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:539558

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần: \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,f\left( x \right) + f'\left( x \right) = {e^{ - x}}\\ \Leftrightarrow f\left( x \right){e^x} + f'\left( x \right){e^x} = 1\\ \Leftrightarrow {\left[ {f\left( x \right){e^x}} \right]^\prime } = 1\\ \Leftrightarrow f\left( x \right){e^x} = x + {C_1}\end{array}\)

Vì \(f\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {C_1} = 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right){e^{2x}} = \left( {x + 2} \right){e^x}\\ \Rightarrow \int {f\left( x \right){e^{2x}}dx = \int {\left( {x + 2} \right){e^x}dx} } \end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 2\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

Suy ra, \(\int {f\left( x \right){e^{2x}}dx = \int {\left( {x + 2} \right){e^x}dx = \left( {x + 2} \right){e^x} - \int {{e^x}dx = \left( {x + 2} \right){e^x} - {e^x} + C = \left( {x + 1} \right){e^x} + C} } } \)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.