Cho \(x,y,z\) là ba số thực dương để lập thành cấp số nhân; \({\log _a}x;{\log _{\sqrt a }}y;{\log

Câu hỏi số 539557:

Vận dụng

Cho \(x,y,z\) là ba số thực dương để lập thành cấp số nhân; \({\log _a}x;{\log _{\sqrt a }}y;{\log _{\sqrt[3]{a}}}z\) lập thành cấp số cộng, với \(a\) là số thực dương khác \(1\). Giá trị của \(P = \dfrac{{9x}}{y} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{{3z}}{x}\) là:

A. \(13\)

B. \(3\)

C. \(12\)

D. \(10\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:539557

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của cấp số cộng, tính chất của cấp số nhân.

Giải chi tiết

Vì \(x,y,z\) là ba số thực dương để lập thành cấp số nhân nên ta có: \(xz = {y^2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Vì \({\log _a}x;{\log _{\sqrt a }}y;{\log _{\sqrt[3]{a}}}z\) lập thành cấp số cộng nên ta có: \({\log _a}x + {\log _{\sqrt[3]{a}}}z = 2{\log _{\sqrt a }}y\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _a}x + 3{\log _a}z = 4{\log _a}y\\ \Leftrightarrow {\log _a}x + {\log _a}{z^3} = {\log _a}{y^4}\\ \Leftrightarrow x{z^3} = {y^4}\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}xz = {y^2}\,\,\,\,\,\left( * \right)\\x{z^3} = {y^4}\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\)

Thay \(\left( * \right)\) vào \(\left( {**} \right)\), ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x{z^3} = {\left( {xz} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x{z^3} - {x^2}{z^2} = 0\\ \Leftrightarrow x{z^2}\left( {z - x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x{z^2} = 0\,\,\left( {vo\,\,li\,\,do\,\,x > 0;z > 0\,} \right)\\z - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow z = x\end{array}\)

Với \(z = x\), thay vào \(\left( * \right)\), ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} = {y^2}\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 0\\x + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x = - y\,\,\left( {loai\,\,do\,\,x > 0 \Rightarrow y < 0} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Thay \(x = y = z\) vào \(P = \dfrac{{9x}}{y} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{{3z}}{x}\), ta được: \(P = 9 + 1 + 3 = 13\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.