Cho \(x,y,z\) là ba số thực dương để lập thành cấp số nhân; \({\log _a}x;{\log _{\sqrt a }}y;{\log

Câu hỏi số 539557:

Vận dụng

Cho \(x,y,z\) là ba số thực dương để lập thành cấp số nhân; \({\log _a}x;{\log _{\sqrt a }}y;{\log _{\sqrt[3]{a}}}z\) lập thành cấp số cộng, với \(a\) là số thực dương khác \(1\). Giá trị của \(P = \dfrac{{9x}}{y} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{{3z}}{x}\) là:

A. \(13\)

B. \(3\)

C. \(12\)

D. \(10\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:539557

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của cấp số cộng, tính chất của cấp số nhân.

Giải chi tiết

Vì \(x,y,z\) là ba số thực dương để lập thành cấp số nhân nên ta có: \(xz = {y^2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Vì \({\log _a}x;{\log _{\sqrt a }}y;{\log _{\sqrt[3]{a}}}z\) lập thành cấp số cộng nên ta có: \({\log _a}x + {\log _{\sqrt[3]{a}}}z = 2{\log _{\sqrt a }}y\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _a}x + 3{\log _a}z = 4{\log _a}y\\ \Leftrightarrow {\log _a}x + {\log _a}{z^3} = {\log _a}{y^4}\\ \Leftrightarrow x{z^3} = {y^4}\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}xz = {y^2}\,\,\,\,\,\left( * \right)\\x{z^3} = {y^4}\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\)

Thay \(\left( * \right)\) vào \(\left( {**} \right)\), ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x{z^3} = {\left( {xz} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x{z^3} - {x^2}{z^2} = 0\\ \Leftrightarrow x{z^2}\left( {z - x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x{z^2} = 0\,\,\left( {vo\,\,li\,\,do\,\,x > 0;z > 0\,} \right)\\z - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow z = x\end{array}\)

Với \(z = x\), thay vào \(\left( * \right)\), ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} = {y^2}\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 0\\x + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x = - y\,\,\left( {loai\,\,do\,\,x > 0 \Rightarrow y < 0} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Thay \(x = y = z\) vào \(P = \dfrac{{9x}}{y} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{{3z}}{x}\), ta được: \(P = 9 + 1 + 3 = 13\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.