Cho \(x;y > 0\) thỏa mãn \(x + y = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(M = \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} +

Câu hỏi số 540732:

Vận dụng cao

Cho \(x;y > 0\) thỏa mãn \(x + y = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(M = \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{1}{{xy}}\) .

A. \(MinM = 9 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{4};y = \dfrac{1}{4}\)

B. \(MinM = 8 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4};y = \dfrac{3}{4}\)

C. \(MinM = 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3};y = \dfrac{2}{3}\)

D. \(MinM = 6 \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:540732

Phương pháp giải

Giải chi tiết

*) Ta có: \(a > 0,b > 0:\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} > \dfrac{4}{{a + b}}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b \ge 2\sqrt {ab} \\\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}} \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\left( {a + b} \right) \ge 4\\ \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\end{array}\)

\(M = \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{1}{{xy}}\)

\(M = \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{1}{{2xy}} + \dfrac{1}{{2xy}}\)

Ta có: \(\dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{1}{{2xy}} \ge \dfrac{4}{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2xy}}\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{1}{{2xy}} \ge \dfrac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}\\\dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{1}{{2xy}} \ge 4\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Ta có: \(x + y \ge 2\sqrt {xy} \) (cô – si)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 \ge 2\sqrt {xy} \\ \Leftrightarrow \sqrt {xy} \le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow xy \le \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow 2xy \le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{2xy}} \ge 2\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2),

\(\begin{array}{l}M = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{1}{{2xy}}} \right) + \dfrac{1}{{2xy}} \ge 4 + 2\\M \ge 6 \Rightarrow MinM = 6\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 2xy\\x = y\\x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link