Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB\). Điểm \(M\) thuộc nửa đường tròn.

Câu hỏi số 540731:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB\). Điểm \(M\) thuộc nửa đường tròn. Gọi \(H\) là điểm chính giữa cung \(AM\). Tia \(BH\) cắt \(AM\) tại \(I\). Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại \(A\) cắt \(BH\) tại \(K\). Nối \(AH\) cắt \(BM\) tại \(E\).

1) Chứng minh tam giác \(BAE\) là tam giác cân.

2) Chứng minh \(KH.KB = K{E^2}\)

3) Đường tròn tâm \(B\) bán kính \(BA\) cắt \(AM\) tại \(N\). Chứng minh tứ giác \(BIEN\) là tứ giác nội tiếp.

4) Tìm vị trí của \(M\) để \(\angle MKA = {90^0}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:540731

Phương pháp giải

Giải chi tiết

a) \(\left( O \right):\angle AHB = {90^0}\) (góc nộ tiếp chắn với đường tròn)

\( \Rightarrow BH \bot AE\)

Ta có: \(cungAH = cungHM(H\) là điểm chính giữa \(cungAM)\)

\( \Rightarrow \angle ABH = \angle MBH\) (hai góc chắn hai cung bằng nhau)

\( \Rightarrow BH\) là tia phân giác của \(\angle ABE\).

Xét \(\Delta ABE:\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AE\left( {cmt} \right)\\BH\,la\,phan\,giac\,\angle ABE\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta ABE\) cân tại \(E\) (dhnb tam giác cân)

b) Xét \(\Delta KEB\) và \(\Delta KAB\) có:

\(BE = BA(\Delta ABE\) cân tại \(B)\)

\(\angle KAE = \angle KBA\left( {cmt} \right)\)

\(BK\,\,chung\)

\( \Rightarrow \Delta KEB = \Delta KAB\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle KEB = \angle KAB = {90^0}\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow \Delta KEB\) vuông tại \(E\)

Mà \(EH \bot BK\left( {cma} \right)\)

\( \Rightarrow KH.KB = K{E^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

c) Ta có: \(\angle BE = BA(\Delta ABE\) cân tại \(B)\)\( \Rightarrow E \in \left( {B;BA} \right)\)

Xét \(\left( B \right):\angle ANE = \dfrac{1}{2}\angle ABE\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn \(cungAE\))

Mà \(\angle IBE = \dfrac{1}{2}ABE(BH\) là phân giác \(\angle ABE)\)

\( \Rightarrow \angle IBE = \angle INE\)

Xét tứ giác \(BIEN:\angle IBE = \angle INE\left( {cmt} \right)\)

Mà \(B,N\) là hai đỉnh kề nhau

\( \Rightarrow BIEN\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tứ giác nội tiếp)

d) Kẻ \(MD \bot AB\)

\(\angle MKA = {90^0} \Rightarrow ADMK\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow KM = AD\)

*) \(\Delta KMB\) cân tại \(M \Rightarrow MB = MK\)

\( \Rightarrow MB = AD\)

Đặt \(BM = x\)

\(\Delta AMB\) vuông tại \(M,MD \bot AB\)

\( \Rightarrow B{M^2} = BD.BA\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} = \left( {2R - AD} \right).2R = \left( {2R - x} \right).2R\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2Rx - 4{R^2} = 0\end{array}\)

\(\Delta ' = {R^2} - 1.\left( { - 4{R^2}} \right) = 5{R^2} > 0\)

Phương trình có hai nghiệm \({x_1} = - R - R\sqrt 5 < 0\left( {loai} \right);{x_2} = - R + R\sqrt 5 \left( {tm} \right)\)

Vậy \(M \in \left( O \right)\) sao cho \(BM = R\sqrt 5 - R\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link