Cho phương trình \({x^2} - mx - 1 = 0\)(1) (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2

Câu hỏi số 540801:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - mx - 1 = 0\)(1) (x là ẩn số)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu

b) Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là các nghiệm của phương trình (1). Tính giá trị của biểu thức : \(P = \dfrac{{x_1^2 + {x_{ 1}} - 1}}{{x{ _1}}} - \dfrac{{x_2^2 + {x_2} - 1}}{{x{ _2}}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:540801

Giải chi tiết

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu

Có \(a = 1,\,\,b = - m,\,\,c = - 1\).

Mà \(ac = 1.\left( { - 1} \right) < 0\)

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.

b) Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là các nghiệm của phương trình (1). Tính giá trị của biểu thức : \(P = \dfrac{{x_1^2 + {x_{ 1}} - 1}}{{x{ _1}}} - \dfrac{{x_2^2 + {x_2} - 1}}{{x{ _2}}}\)

Cách 1: \({x_1},\,\,{x_2}\) là nghiệm của \({x^2} - mx - 1 = 0\)

\(\begin{array}{l}x_1^2 - m{x_1} - 1 = 0 \Leftrightarrow x_1^2 = m{x_1} + 1\\x_2^2 - m{x_2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x_2^2 = m{x_2} + 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \dfrac{{\left( {m{x_1} + 1} \right) + {x_1} - 1}}{{{x_1}}} - \dfrac{{\left( {m{x_2}} \right) + {x_2} - 1}}{{{x_2}}}\\\,\,\,\,\,\,P = \dfrac{{m{x_1} + {x_1}}}{{{x_1}}} - \dfrac{{m{x_2} + {x_2}}}{{{x_2}}}\\\,\,\,\,\,\,P = m + 1 - m - 1\\\,\,\,\,\,\,P = 0\end{array}\)

Cách 2:

\({x^2} - mx - 1 = 0\) (1)

Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{x_1^2 + {x_1} - 1}}{{{x_1}}} - \dfrac{{x_2^2 + {x_2} - 1}}{{{x_2}}}\\P = \dfrac{{x_1^2 + {x_1} + {x_1}{x_2}}}{{{x_1}}} - \dfrac{{x_2^2 + {x_2} + {x_1}{x_2}}}{{{x_2}}}\\P = {x_1} + 1 + {x_2} - \left( {{x_2} + 1 + {x_1}} \right)\\P = {x_1} + 1 + {x_2} - {x_2} - 1 - {x_1}\\P = 0\end{array}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link