Cho phương trình \({x^2} - mx - 1 = 0\)(1) (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2

Câu hỏi số 540801:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - mx - 1 = 0\)(1) (x là ẩn số)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu

b) Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là các nghiệm của phương trình (1). Tính giá trị của biểu thức : \(P = \dfrac{{x_1^2 + {x_{ 1}} - 1}}{{x{ _1}}} - \dfrac{{x_2^2 + {x_2} - 1}}{{x{ _2}}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:540801

Giải chi tiết

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu

Có \(a = 1,\,\,b = - m,\,\,c = - 1\).

Mà \(ac = 1.\left( { - 1} \right) < 0\)

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.

b) Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là các nghiệm của phương trình (1). Tính giá trị của biểu thức : \(P = \dfrac{{x_1^2 + {x_{ 1}} - 1}}{{x{ _1}}} - \dfrac{{x_2^2 + {x_2} - 1}}{{x{ _2}}}\)

Cách 1: \({x_1},\,\,{x_2}\) là nghiệm của \({x^2} - mx - 1 = 0\)

\(\begin{array}{l}x_1^2 - m{x_1} - 1 = 0 \Leftrightarrow x_1^2 = m{x_1} + 1\\x_2^2 - m{x_2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x_2^2 = m{x_2} + 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \dfrac{{\left( {m{x_1} + 1} \right) + {x_1} - 1}}{{{x_1}}} - \dfrac{{\left( {m{x_2}} \right) + {x_2} - 1}}{{{x_2}}}\\\,\,\,\,\,\,P = \dfrac{{m{x_1} + {x_1}}}{{{x_1}}} - \dfrac{{m{x_2} + {x_2}}}{{{x_2}}}\\\,\,\,\,\,\,P = m + 1 - m - 1\\\,\,\,\,\,\,P = 0\end{array}\)

Cách 2:

\({x^2} - mx - 1 = 0\) (1)

Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{x_1^2 + {x_1} - 1}}{{{x_1}}} - \dfrac{{x_2^2 + {x_2} - 1}}{{{x_2}}}\\P = \dfrac{{x_1^2 + {x_1} + {x_1}{x_2}}}{{{x_1}}} - \dfrac{{x_2^2 + {x_2} + {x_1}{x_2}}}{{{x_2}}}\\P = {x_1} + 1 + {x_2} - \left( {{x_2} + 1 + {x_1}} \right)\\P = {x_1} + 1 + {x_2} - {x_2} - 1 - {x_1}\\P = 0\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link