Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Các đường cao AD và CF
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Các đường cao AD và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp. Suy ra \(\angle AHC = {180^0} - \angle ABC\)
b) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C) và N là điểm đối xứng của M qua AC. Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp.
c) Gọi I là giao điểm của AM và HC; J là giao điểm của AC và HN. Chứng minh \(\angle AJI = \angle ANC\).
d) Chứng minh rằng : OA vuông góc với IJ
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp. Suy ra \(\angle AHC = {180^0} - \angle ABC\)
Ta có: \(\angle BFH = {90^0}\) (\(CF \bot AB\))
\(\angle BDH = {90^0}\) (\(AD \bot BC\))
\( \Rightarrow \angle BFH + \angle BDH = {180^0}\)
Xét tứ giác \(BFHD\) có: \(\angle BFH + \angle BDH = {180^0}\)
Mà \(\angle BFH\) và \(\angle BDH\) là 2 góc đối nhau
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BFHD\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt)
\( \Rightarrow \angle FBD + \angle FHD = {180^0}\) (tính chất tứ giác nội tiếp)
Mà \(\angle FHD = \angle AHC\) (2 góc đối đỉnh)
\( \Rightarrow \angle FBD + \angle AHC = {180^0}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle AHC = {180^0} - \angle FBD\\ \Rightarrow \angle AHC = {180^0} - \angle ABC\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)
b) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C) và N là điểm đối xứng của M qua AC. Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp.
Do N đối xứng M qua AC
\( \Rightarrow \angle ANC = \angle AMC\) (tính chất đối xứng)
Xét \(\left( O \right)\): \(\angle AMC = \angle ABC\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC) \( \Rightarrow \angle ANC = \angle ABC\).
Mà \(\angle ABC + \angle AHC = {180^0}\) (cmt)
\( \Rightarrow \angle ANC + \angle AHC = {180^0}\).
Xét tứ giác \(AHCN\): \(\angle ANC + \angle AHC = {180^0}\)
Mà \(\angle ANC\) và \(\angle AHC\) là 2 góc đối nhau.
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AHCN\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt).
c) Gọi I là giao điểm của AM và HC; J là giao điểm của AC và HN. Chứng minh \(\angle AJI = \angle ANC\).
*) M, N đối xứng qua AC \( \Rightarrow \angle IAJ = \angle CAN\) (1)
*) Tứ giác \(AHCN\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle NHC = \angle CAN\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung NC) (2)
Từ (1), (2) \( \Rightarrow \angle IAJ = \angle NHC\)
Mà \(\angle NHC + \angle NHI = {180^0}\)
Mà \(\angle NHC + \angle NHI = {180^0}\) (2 góc kề bù)
\( \Rightarrow \angle IAJ + \angle IHJ = {180^0}\)
Mà \(\angle IAJ\) và \(\angle IHJ\) là 2 góc đối nhau
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AIHJ\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt)
\( \Rightarrow \angle AJI = \angle AHI\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AI).
*) Ta có: \(\angle ANC + \angle AHC = {180^0}\) (tứ giác AHCN nội tiếp)
Mà \(\angle AHI + \angle AHC = {180^0}\) (2 góc kề bù)
\( \Rightarrow \angle ANC = \angle AHI\)
Mà \(\angle AHI = \angle AJI\) (2 góc đối đỉnh)
\( \Rightarrow \angle ANC = \angle AJI\) (đpcm).
d) Chứng minh rằng : OA vuông góc với IJ
Kẻ \(xy\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại A \( \Rightarrow OA \bot xy\).
*) \(\angle IMJ = \angle ICJ\) \(\left( { = \angle ANJ} \right)\).
\( \Rightarrow \) Tứ giác MIJC nội tiếp (dhnb tgnt)
\( \Rightarrow \angle MCJ + \angle MIJ = {180^0}\) (tính chất tgnt)
Mà \(\angle AIJ + \angle MIJ = {180^0}\) (hai góc kề bù)
\( \Rightarrow \angle AIJ = \angle ACM\)
Mà \(\angle ACM = \angle MAx\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AM)
\( \Rightarrow \angle MAx = \angle AIJ\)
2 góc này ở vị trí so le trong \( \Rightarrow xy//IJ\).
Mà \(OA \bot xy \Rightarrow OA \bot IJ\,\,\left( {dpcm} \right)\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
