Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(A = \,{\sin ^4}x + 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x\) lần

Câu hỏi số 541545:

Vận dụng

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(A = \,{\sin ^4}x + 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x\) lần lượt là \(M;\,\,m\). Giá trị biểu thức \(P = \,\dfrac{M}{m}\) là:

A. \(4\).

B. \(3\).

C. \(2\).

D. \(1\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:541545

Phương pháp giải

Sử dụng:

\(\begin{array}{l}{x^2} \ge 0\,\,\forall x\, \Leftrightarrow {x^2} + A \ge A\,\forall x.\\0 \le \,\,{\sin ^2}x;\,\,c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \le 1\,\, \Rightarrow {\sin ^4}x \le {\sin ^2}x;\,c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x \le c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x.\\{\sin ^2}x + \,c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 1\,.\end{array}\)

Giải chi tiết

+) Ta có; \(A = \,{\sin ^4}x + 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x\)

\(\begin{array}{l} = \,\,{\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x = \,{\left( {1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \right)^2} + 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x\\ = 1 - 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + 3c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x = \,{\left( {\sqrt 3 {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right)^2} - 2.\sqrt 3 {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + \,\dfrac{1}{3} + \,\dfrac{2}{3}\\ = \,{\left( {\sqrt 3 {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - \,\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} + \dfrac{2}{3} \ge 0 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}\end{array}\)

Dấu = xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt 3 {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = \,\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = \,\dfrac{1}{3}\)

Vậy \(\min A = \,\dfrac{2}{3}\).

+) Vì \(0\, \le {\sin ^2}x;\,\,c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \le 1\) nên:

\(\begin{array}{l}{\sin ^4}x \le {\sin ^2}x;\,c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x \le c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \Rightarrow 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x \le 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\\ \Rightarrow A = \,{\sin ^4}x + 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x \le {\sin ^2}x + 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\\ \Leftrightarrow A \le 1 + \,c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \le 2\\ \Rightarrow MaxA = \,2.\end{array}\)

Dấu = xảy ra khi \(\sin {\,^2}x = 0;\,c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 1\).

Vậy \(M = 2;\,\,m = \,\dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{M}{m} = 3\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.