Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(A = \,{\sin ^4}x + 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x\) lần

Câu hỏi số 541545:

Vận dụng

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(A = \,{\sin ^4}x + 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x\) lần lượt là \(M;\,\,m\). Giá trị biểu thức \(P = \,\dfrac{M}{m}\) là:

A. \(4\).

B. \(3\).

C. \(2\).

D. \(1\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:541545

Phương pháp giải

Sử dụng:

\(\begin{array}{l}{x^2} \ge 0\,\,\forall x\, \Leftrightarrow {x^2} + A \ge A\,\forall x.\\0 \le \,\,{\sin ^2}x;\,\,c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \le 1\,\, \Rightarrow {\sin ^4}x \le {\sin ^2}x;\,c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x \le c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x.\\{\sin ^2}x + \,c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 1\,.\end{array}\)

Giải chi tiết

+) Ta có; \(A = \,{\sin ^4}x + 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x\)

\(\begin{array}{l} = \,\,{\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x = \,{\left( {1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \right)^2} + 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x\\ = 1 - 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + 3c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x = \,{\left( {\sqrt 3 {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right)^2} - 2.\sqrt 3 {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + \,\dfrac{1}{3} + \,\dfrac{2}{3}\\ = \,{\left( {\sqrt 3 {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - \,\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} + \dfrac{2}{3} \ge 0 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}\end{array}\)

Dấu = xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt 3 {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = \,\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = \,\dfrac{1}{3}\)

Vậy \(\min A = \,\dfrac{2}{3}\).

+) Vì \(0\, \le {\sin ^2}x;\,\,c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \le 1\) nên:

\(\begin{array}{l}{\sin ^4}x \le {\sin ^2}x;\,c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x \le c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \Rightarrow 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x \le 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\\ \Rightarrow A = \,{\sin ^4}x + 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x \le {\sin ^2}x + 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\\ \Leftrightarrow A \le 1 + \,c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \le 2\\ \Rightarrow MaxA = \,2.\end{array}\)

Dấu = xảy ra khi \(\sin {\,^2}x = 0;\,c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 1\).

Vậy \(M = 2;\,\,m = \,\dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{M}{m} = 3\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10