Cho hai số thực \(a,b\) thay đổi thỏa mãn \(1 \le a \le 2,\,\,\,1 \le b \le 2.\) Chứng minh \(\left( {a +

Câu hỏi số 541803:

Vận dụng cao

Cho hai số thực \(a,b\) thay đổi thỏa mãn \(1 \le a \le 2,\,\,\,1 \le b \le 2.\) Chứng minh \(\left( {a + b} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) \le \dfrac{9}{2}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:541803

Phương pháp giải

Ta có: \(A = \left( {a + b} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) = 2 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}\)

Đặt \(\dfrac{a}{b} = t\), tìm được điều kiện của \(t\)

Thay \(\dfrac{a}{b} = t\) vào biểu thức \(A\), biến đổi khi đó ta có điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

Ta có: \(A = \left( {a + b} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) = 2 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}\)

Đặt \(\dfrac{a}{b} = t\), khi đó \(1 \le a,b \le 2 \Rightarrow \dfrac{1}{2} \le t \le 2\)

Suy ra \(\left( {t - 2} \right)\left( {t - \dfrac{1}{2}} \right) \le 0 \Rightarrow {t^2} + 1 \le \dfrac{5}{2}t\)

\(A = 2 + t + \dfrac{1}{t} = 2 + \dfrac{{{t^2} + 1}}{t} \le 2 + \dfrac{{\dfrac{5}{2}t}}{t} = \dfrac{9}{2}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\\,b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Vậy với \(1 \le a \le 2,\,\,\,1 \le b \le 2\) thì \(A \le \dfrac{9}{2}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link