Cho hai số thực \(a,b\) thay đổi thỏa mãn \(1 \le a \le 2,\,\,\,1 \le b \le 2.\) Chứng minh \(\left( {a +

Câu hỏi số 541803:

Vận dụng cao

Cho hai số thực \(a,b\) thay đổi thỏa mãn \(1 \le a \le 2,\,\,\,1 \le b \le 2.\) Chứng minh \(\left( {a + b} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) \le \dfrac{9}{2}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:541803

Phương pháp giải

Ta có: \(A = \left( {a + b} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) = 2 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}\)

Đặt \(\dfrac{a}{b} = t\), tìm được điều kiện của \(t\)

Thay \(\dfrac{a}{b} = t\) vào biểu thức \(A\), biến đổi khi đó ta có điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

Ta có: \(A = \left( {a + b} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) = 2 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}\)

Đặt \(\dfrac{a}{b} = t\), khi đó \(1 \le a,b \le 2 \Rightarrow \dfrac{1}{2} \le t \le 2\)

Suy ra \(\left( {t - 2} \right)\left( {t - \dfrac{1}{2}} \right) \le 0 \Rightarrow {t^2} + 1 \le \dfrac{5}{2}t\)

\(A = 2 + t + \dfrac{1}{t} = 2 + \dfrac{{{t^2} + 1}}{t} \le 2 + \dfrac{{\dfrac{5}{2}t}}{t} = \dfrac{9}{2}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\\,b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Vậy với \(1 \le a \le 2,\,\,\,1 \le b \le 2\) thì \(A \le \dfrac{9}{2}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link