Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Biết \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) với H

Câu hỏi số 543212:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Biết \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) với H thuộc cạnh \(AB\) thỏa mãn\(AB = 3AH\). Góc tạo bởi \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) là

A. \(\dfrac{{a\sqrt {15} }}{{10}}\)

B. \(\dfrac{{2a\sqrt {15} }}{5}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\)

D. \(\dfrac{{3a\sqrt {15} }}{5}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543212

Phương pháp giải

Bước 1: Chứng minh \(HF \bot \left( {SAK} \right)\)

Bước 2: Chứng tỏ \(d\left( {BC,SA} \right)\) \( = 3d\left( {H,\left( {SAK} \right)} \right)\) và tìm khoảng cách .

Giải chi tiết

Kẻ Ax song song với BC

Kẻ HK vuông góc với Ax, kẻ HF vuông góc với SK.

Bước 1: Chứng minh \(HF \bot \left( {SAK} \right)\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}HK \bot Ax\\SH \bot Ax\end{array} \right. \Rightarrow Ax \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow AK \bot HF\\\left\{ \begin{array}{l}AK \bot HF\\HF \bot SK\end{array} \right. \Rightarrow HF \bot \left( {SAK} \right)\end{array}\)

Bước 2: Chứng tỏ \(d\left( {BC,SA} \right)\) \( = 3d\left( {H,\left( {SAK} \right)} \right)\) và tìm khoảng cách .

\(d\left( {BC,SA} \right) = d\left( {BC,\left( {SAK} \right)} \right)\) \( = d\left( {B,\left( {SAK} \right)} \right) = 3d\left( {H,\left( {SAK} \right)} \right)\)

Ta có \(AB = a \Rightarrow AH = \dfrac{a}{3}\)

Tam giác ABC đều nên \(\angle ABC = {60^0}\)\( \Rightarrow \angle HAK = {60^0}\)

\( \Rightarrow HK = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.AH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{3}a = \dfrac{a}{{2\sqrt 3 }}\)

Góc tạo bởi SA và (ABC) bằng \({60^0}\) nên \(SH = \sqrt 3 AH = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\)

Áp dụng HTL trong tam giác vuông SHK ta có:

\(\dfrac{1}{{H{F^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{3}{{{a^2}}} + \dfrac{{12}}{{{a^2}}} = \dfrac{{15}}{{{a^2}}} \Rightarrow HF = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{{15}}\)

Vậy \(d\left( {BC,SA} \right) = 3.\dfrac{{a\sqrt {15} }}{{15}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.