Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn x2 + y2 = (x + y)( √x + √y – 1) với x > ; y

Câu hỏi số 54342:

Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn

x² + y²= (x + y)( √x + √y – 1) với x > $\frac{1}{4}$ ; y > $\frac{1}{4}$

A. (x;y) = (1;1)

B. (x;y) = (-1;1)

C. (x;y) = (1;-1)

D. (x;y) = (-1;-1)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:54342

Giải chi tiết

Cách 1 Từ bài trước ta có x + y - 2(√x + √y) + 2 ≥ 0

⇔ √x + √y ≤ $\frac{x+y}{2}$ + 1

Do đó (x + y)(√x + √y - 1) ≤ (x + y)( $\frac{x+y}{2}$ + 1 - 1) = $\frac{1}{2}$ (x + y)²

Mà x² + y²= (x + y)(√x + √y - 1) khi x = y = 1

Vậy cặp số (x;y) = (1;1)

Cách 2

x > $\frac{1}{4}$ ; y > $\frac{1}{4}$ nên (x + y)(√x + √y - 1) > 0

theo BĐT cô si cho hai số dương ta có :

√x = √x.1 ≤ $\frac{x+1}{2}$ . Dấu "=" xảy ra khi x = 1

√y = √y.1 ≤ $\frac{y+1}{2}$ . Dấu "=" xảy ra khi y = 1

Do đó (x + y)(√x + √y - 1) ≤ (x + y)( $\frac{x+1}{2}$ + $\frac{y+1}{2}$ - 1) = $\frac{1}{2}$ (x + y)²

Mà x² + y²= (x + y)(√x + √y - 1) nên $\frac{1}{2}$ (x + y)²≤ x² + y^{2 (1)}

Mặt khác theo BĐT Bunhiacopxki ta có :

(x² + y²⁾⁽1² + 1²) ≥ (x + y)²

=> x² + y²≥ $\frac{(x+y)^{2}}{2}$ (2

Dấu "=" xảy ra khi x = y

Từ (1) và (2) suy ra x² + y²= (x + y)(√x + √y - 1) khi x = y = 1

Vậy cặp số (x;y) = (1;1)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link