Ba gương phẳng tạo thành hình lăng trụ tiết diện tam giác đều cạnh a (hình vẽ). Có một lỗ

Câu hỏi số 543543:

Vận dụng cao

Ba gương phẳng tạo thành hình lăng trụ tiết diện tam giác đều cạnh a (hình vẽ). Có một lỗ nhỏ O tại trung điểm của BC. Trong mặt phẳng qua O vuông góc với các gương, chiếu một tia sáng qua O tới AB, phản xạ đến AC rồi phản xạ qua O.

a) Chứng minh đường đi của tia sáng là tam giác đều.

b) Tính độ dài đường đi của tia sáng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543543

Phương pháp giải

Sử dụng định luật phản xạ ánh sáng

Áp dụng các tính chất của tam giác đều

Giải chi tiết

Ta có hình vẽ:

Do \({O_1}\) đối xứng với O qua \(AB \Rightarrow AO = A{O_1}\)

\( \Rightarrow \Delta AO{O_1}\) cân tại A \( \Rightarrow \widehat {AO{O_1}} = \widehat {A{O_1}O}\)

Tương tự ta có \(\Delta AO{O_2}\) cân tại A \( \Rightarrow \widehat {AO{O_2}} = \widehat {A{O_2}O}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}\widehat {A{O_1}O} + \widehat {AO{O_1}} + \widehat {AO{O_2}} + \widehat {A{O_2}O} = {180^0}\\ \Rightarrow 2\widehat {{O_1}O{O_2}} = {180^0} \Rightarrow \widehat {{O_1}O{O_2}} = {90^0}\\ \Rightarrow O{O_2} \bot O{O_1}\end{array}\)

Mà \(AB \bot O{O_1} \Rightarrow AB//O{O_2} \Rightarrow OJ//AB\)

Mặt khác, O là trung điểm của BC → OJ là đường trung bình của tam giác ABC

\( \Rightarrow OJ = JC = OC = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{a}{2}\)

\( \to \Delta JOC\) đều \( \Rightarrow \widehat {OJC} = \widehat {JOC} = {60^0}\)

Lại có: \(\Delta OJ{O_1}\) vuông tại O

Mà \(IO = I{O_1} \to \) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OJ{O_1}\)

\( \Rightarrow IO = I{O_1} = IJ \to \Delta IOJ\) cân tại I

Mặt khác: \(\widehat {BO{O_1}} = {180^0} - \widehat {JO{O_1}} - \widehat {JOC} = {30^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {IO{O_1}} = \widehat {BO{O_1}} = {30^0} \Rightarrow \widehat {IOJ} = {60^0}\)

\( \to \Delta IOJ\) đều (đpcm)

b) Ta có tam giác IOJ đều \( \to OI = IJ = JO = \dfrac{a}{2}\)

Vậy độ dài đường đi tia sáng là:

\(OIJ = OI + IJ + JO = 3\dfrac{a}{2} = 1,5a\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link