Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 2AD\). Kẻ \(AI\) vuông góc với \(BD\) tại \(I\) và \(AI\) cắt

Câu hỏi số 543964:

Thông hiểu

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 2AD\). Kẻ \(AI\) vuông góc với \(BD\) tại \(I\) và \(AI\) cắt \(DC\) tại \(E\). Chứng minh:

a)\(A{D^2} = DI.DB\).

b)\(BI = 4DI\)

c)\(DC = 4DE\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543964

Phương pháp giải

a)\(\Delta ADI \sim \Delta BAD(g.g)\)

b) \(\Delta ABI \sim \Delta DBA(g.g)\)\( \Rightarrow 4A{D^2} = BD.BI\)

c) \(\Delta DIE \sim \Delta BIA\)(g.g) và \(BI = 4DI\).

Giải chi tiết

\(ABCD\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow \angle BAD = {90^0}\)

\(AE \bot BD\) tại \(I \Rightarrow \angle AID = \angle AIB = {90^0}\)

a) Xét \(\Delta ADI\) và \(\Delta BDA\)có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle AID = \angle BAD = 90^\circ \\\angle BDA\;chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ADI \sim \Delta BAD(g.g)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{DI}} = \dfrac{{DB}}{{AD}}\) (định nghĩa hai tam giác đồng dạng)
\( \Rightarrow A{D^2} = DI.DB\)

b) Xét \(\Delta ABI\) và\(\Delta DBA\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle AIB = \angle BAD = 90^\circ \\\angle BDA\;chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ABI \sim \Delta DBA(g.g)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BI}}{{AB}}\) (định nghĩa hai tam giác đồng dạng)

\( \Rightarrow A{B^2} = BD.BI\) (1)

Mà \(AB = 2AD \Rightarrow A{B^2} = 4A{D^2}\) (2)

Từ (1) và (2), suy ra: \(4A{D^2} = BD.BI\).

Mà \(A{D^2} = DI.DB\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow BD.BI = 4DI.DB \Rightarrow BI = 4DI\)(đpcm)

c) Ta có :\(BI = 4DI \Rightarrow \dfrac{{DI}}{{BI}} = \dfrac{1}{4}\)

Vì \(AB//ED\)\( \Rightarrow \)(g.g)

\( \Rightarrow \dfrac{{DI}}{{IB}} = \dfrac{{DE}}{{AB}} = \dfrac{{DE}}{{DC}} = \dfrac{1}{4}\) (định nghĩa tam giác đồng dạng)

\( \Rightarrow DC = 4DE\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link