Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn: \(a + b + c = 6\). Chứng minh bất đẳng thức sau:

Câu hỏi số 545476:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn: \(a + b + c = 6\). Chứng minh bất đẳng thức sau: \(\dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + {c^2}}} + \dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + {a^2}}} \ge 3\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:545476

Phương pháp giải

Ta sẽ chứng minh: \(\dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + {b^2}}} \ge a - \dfrac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right);\,\,\dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + {c^2}}} \ge b - \dfrac{c}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right);\,\dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + {a^2}}} \ge c - \dfrac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

Ta có: \(\dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + {b^2}}} = a - \dfrac{{a{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} \ge a - \dfrac{{a{b^2}}}{{2ab}} = a - \dfrac{b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + {c^2}}} = b - \dfrac{{b{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} \ge b - \dfrac{{b{c^2}}}{{2bc}} = b - \dfrac{c}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

\(\dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + {a^2}}} = c - \dfrac{{c{a^2}}}{{{c^2} + {a^2}}} \ge c - \dfrac{{c{a^2}}}{{2ca}} = c - \dfrac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3), ta được:

\(\dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + {c^2}}} + \dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + {a^2}}} \ge a - \dfrac{b}{2} + b - \dfrac{c}{2} + c - \dfrac{a}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + {c^2}}} + \dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + {a^2}}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + {c^2}}} + \dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + {a^2}}} \ge \dfrac{6}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + {c^2}}} + \dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + {a^2}}} \ge 3\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c = 2\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link