Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và dây \(BC\) cố định không qua \(O\). Trên tia đối của tia

Câu hỏi số 545475:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và dây \(BC\) cố định không qua \(O\). Trên tia đối của tia \(BC\) lấy điểm \(A\) khác \(B\). Từ \(A\) kẻ các tiếp tuyến \(AM,AN\) với đường tròn (\(M,N\) là tiếp điểm).

1) Chứng minh bốn điểm \(A,M,O,N\) cùng thuộc một đường tròn.

2) \(MN\) cắt \(OA\) tại \(H\). Chứng minh \(OA \bot MN\) và \(AH.AO = AB.AC\).

3) Chứng minh khi \(A\) thay đổi trên tia đối của tia \(BC\), đường thẳng \(MN\) luôn đi qua một điểm cố định.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:545475

Phương pháp giải

1) Chứng minh \(AMON\) là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết: tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp) \( \Rightarrow A,M,O,N\) cùng thuộc một đường tròn

2) + Ta sẽ chứng minh: \(OA\) là đường trung trực của \(MN\)\( \Rightarrow AO \bot MN\)

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(\Delta AMO\), ta có: \(A{M^2} = AH.AO\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta sẽ chứng minh: \(\Delta AMB \sim \Delta ACM\left( {g.g} \right) \Rightarrow A{M^2} = AB.AC\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), ta có điều phải chứng minh.

3) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\)

Gọi \(K\) là giao điểm của \(MN\) và \(OI\)

Ta sẽ chứng minh: \(OK = \dfrac{{{R^2}}}{{OI}}\) và \(OI\) không đổi

\( \Rightarrow K\) cố định

\( \Rightarrow MN\) đi qua điểm \(K\) cố định.

Giải chi tiết

1) \(AM\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)\( \Rightarrow AM \bot OM \Rightarrow \angle AMO = {90^0}\)

\(AN\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;R} \right) \Rightarrow AN \bot ON \Rightarrow \angle ANO = {90^0}\)

Tứ giác \(AMON\) có: \(\angle AMO + \angle ANO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà \(\angle AMO;\angle ANO\) là hai góc đối nhau

\( \Rightarrow AMON\) là tứ giác nội tiếp

\( \Rightarrow \) Bốn điểm \(A,M,O,N\) cùng thuộc một đường tròn.

2) Ta có: \(AM,AN\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;R} \right) \Rightarrow AM = AN\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà \(OM = ON = R\)

\( \Rightarrow OA\) là đường trung trực của đoạn \(MN\)

\( \Rightarrow AO \bot MN\)

\(\Delta AMO\) vuông tại \(M\), đường cao \(MH\), ta có:

\(A{M^2} = AH.AO\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét \(\left( O \right)\) có: \(\angle AMB = \angle MCB\) (góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BM\))

\( \Rightarrow \left. {\angle AMB = \angle MCA} \right\}\)

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta ACM\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle AMB = \angle MCA\left( {cmt} \right)\\\angle MAC\,\,chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AMB \sim \Delta ACM\left( {g.g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{AM}}\\ \Rightarrow A{M^2} = AB.AC\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2), suy ra \(AH.AO = AB.AC\) (đpcm)

3) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\)

\( \Rightarrow OI \bot BC\) (liên hệ giữa đường kính và dây cung trong đường tròn)

Gọi \(K\) là giao điểm của \(MN\) và \(OI\)

Xét \(\Delta AIO\) và \(\Delta KHO\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle AIO = \angle KHO = {90^0}\\\angle AOK\,\,\,chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AIO \sim \Delta KHO\left( {g.g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{OA}}{{OK}} = \dfrac{{OI}}{{OH}}\\ \Rightarrow OK.OI = OA.OH\end{array}\)

Xét \(\Delta AMO\) vuông tại \(M\), đường cao \(AH\), ta có:

\(OA.OH = O{M^2} = {R^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Do đó, \(OK.OI = {R^2}\)

\( \Rightarrow OK = \dfrac{{{R^2}}}{{OI}}\)

Mà \(BC,O,I\) cố định nên \(OI\) không đổi

\( \Rightarrow K\) cố định

Vậy \(MN\) luôn đi qua điểm \(K\) cố định.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link