Tính \(\int_2^3 {\dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^{2020}}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{2022}}}}} dx\)

Câu hỏi số 548607:

Vận dụng

A. \(\dfrac{{{3^{2021}} - {2^{2021}}}}{{2021}}\)

B. \(\dfrac{{{2^{2021}} - {3^{2021}}}}{{2021}}\)

C. \(\dfrac{{{2^{2021}} - {3^{2021}}}}{{4042}}\)

D. \(\dfrac{{{3^{2021}} - {2^{2021}}}}{{4042}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548607

Phương pháp giải

- Phân tích \(\dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^{2020}}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{2022}}}} = {\left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)^{2020}}.\dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

- Đổi biến \(t = 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}\).

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}I = \int_2^3 {\dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^{2020}}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{2022}}}}} dx\\I = \int_2^3 {{{\left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)}^{2020}}.\dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}} dx\\I = \int_2^3 {{{\left( {1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)}^{2020}}.\dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}} dx\end{array}\)

Đặt \(1 + \dfrac{2}{{x - 1}} = t\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 1}} = \dfrac{{t - 1}}{2}\\x = \dfrac{2}{{t - 1}} + 1\end{array} \right. \Rightarrow dx = - \dfrac{2}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}dt\).

Khi đó

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_3^2 {{t^{2020}}.{{\left( {\dfrac{{t - 1}}{2}} \right)}^2}.\dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}dt} = \dfrac{1}{2}\int\limits_2^3 {{t^{2020}}dt} \\\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{2.2021}}\left. {{t^{2021}}} \right|_2^3 = \dfrac{{{3^{2021}} - {2^{2021}}}}{{4042}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.